可算無限集合の証明について教えてください

例えばf：N→Qで
Qが可算無限集合であることを証明するのに
全単射であることを証明すれば良いのは分かるのですが、まず
そのことを証明するのにfを何か関数で定義して全単射であることを
示せば良いのですか？
それとも番号さえつけられれば、fの関数はわざわざ定義しなくて良いのですか？

後この可算無限集合で可付番と言うのが出てきますが、あれって番号をつけていくことが出来るみたいなことらしいですが、あれは一体どういうことなのでしょうか？

よく分かりません。

教えてください。よろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 今するべきことは、NとQが対等(等濃)であることを証明すること。とおっしゃいましたが
  
  ではこの等濃を証明するにはどうしたら良いのでしょうか？
  
  もうずっと考えているのですが、よくわからなくて解決しません。
  
  なるべく詳しくお願い致します。
  
  後、このような濃度の問題を解くときのポイントというかコツというか、そういうのありますでしょうか？
  
  よろしくお願い致します。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/07/10 12:11

No.5 回答者： swqaof 回答日時： 2016/07/11 05:30

可算無限集合の定義を知らないことが，その使い方から分かります．

集合Ｘが可算無限集合であるとは，ＮからＸへの全単射が存在することです．

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/07/10 15:04

「なるべく詳しくお願い致します」とは, 模範解答をここに書け, という意味でしょうか.

それだったら, お断りします.
大学初年度の6月以降は, 4月や5月とは違うのです.
大学数学が高校までの数学といちばん異なる点は, 分からなければ他人に教えてもらう, という考えが通用しないことです.
分かるようになるまで, 自分で考え抜くのが基本で, せいぜい「ヒントをお願いします」程度にとどめるのが常識です.
「もうずっと考えている」のであれば, 質問だけでなく, 考えた内容を併記してください.
今回だけ, 少し詳しすぎるヒントを出します.

1. N と N × N が等濃であることを示す.
2. Q+ と Q が等濃であることを示す.
3. 1 を利用して, N と Q+ が等濃であることを示す.
4. 2 と 3 から, なにが結論されるかを考える.

それでは, 健闘を祈ります.

No.3 回答者： uyama33 回答日時： 2016/07/10 06:55

答え：本を読む。

たとえば、
位相解析の基礎　（吉田、河田、岩村　　著）岩波書店　１１ページ
などなど

君に、日本の科学の将来がかかっている。頑張って勉強してください。

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/07/10 04:26

主語の省略を筆頭に, 不適切な表現が目立ちます.

N から Q への写像 f がすでに定義されているなら, f が全単射か否かは, もう決まっています.
Q が可算無限集合だからといって, f が全単射とは限りません.
一方, f がまだ定義されていないなら, f が全単射であることを証明できるはずがありません.
Map(N, Q) が全単射な元を持つことは, Map(N, Q) の任意の元が全単射であることを保証しません.
実際, Map(N, Q) の任意の元が全単射であるわけがない.

貴方がするべきことは, N と Q が対等（等濃）であることを証明することです.
N から Q への全単射を具体的に作ることができれば, いちばん気分爽快でしょうが, おそらく挫折するでしょう.

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/07/09 23:51

fの関数：納得させる為に関数表現するだけで、自然数と1:1対応が付くことを示せばok。

自然数と1:1対応が付く、とは番号を漏れなく重複なく付ける事だから。

可付番：自然数と1:1対応が付く、と言う意味。1:1対応すれば順に１，２，３、・・・と番号が付けられる。
可付番=番号付与が可能。　言葉の意味です。