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高さHで、底面の半径がRの円柱型のタンクがある。このタンクには最初底面からh0(0<h0<H)の高さまで水が入っている。時刻t0=0にタンクの底面に設けられた排水口から排水をする。排水口から流出する流量Qoutは、底面から水面までの高さをhとすると、

Qout=k√gh

で示される。
このタンクの水深hの時間変化を表す微分方程式をかけ。また、水深がh0/2となる時刻t1およびタンクがからになる時刻t2をそれぞれ示せ。


よろしくお願いします(>_<)

gooドクター

A 回答 (1件)

あまり難しく考えずに、流出量と水位の関係を考えればよいです。



水位 h (m) のときの流出量が Qout ( m3/s ) なら、Δt 秒後の水位 h' (m) は、断面積を S (m2)として
  h' = h - Qout * Δt /S
です。
  h - h' = -Δh
と書けば
  Δh = -Qout * Δt /S
つまり
  Δh / Δt = -Qout/S = -k√gh / パイR^2

Δt を非常に小さくとれば
  dh/dt = -k√gh / パイR^2

これが微分方程式ですね。

これを解けば、変数分離して積分して
  ∫h^(-1/2)dh = -(k√g / パイR^2)∫dt
  2h^(1/2) = -(k√g / パイR^2)t + C
t=0 のとき h=h0 なので
  C = 2h0^(1/2)
よって
  h^(1/2) = h0^(1/2) - (k√g / 2パイR^2)t

あとは、h=(1/2)h0 となる t1 を求めて
  t1 = パイR^2 √h0(2 - √2) / k√g

h=0 となる t1 を求めて
  t2 = 2パイR^2 √h0 / k√g
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この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます!
なるほど、hを幾つか文字でおいて、それから微分方程式を作るんですね(^ ^)
本当にありがとうございました。

お礼日時:2016/08/06 16:23

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