微分する事によって、どんな長所があるのですか?

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A 回答 (5件)

電気を使う事によってどんな長所があるの?という質問と同じ位広範囲で一口に説明できないですね。



そう、例えばご家庭に流れてる電気、あれだって微分がなかったら流れないですよ。
何故と聞かれると答えに窮するのですが、分からないのを承知で言いますと微分方程式と言うのがあります。
この微分方程式と言うのがこの世のいろいろな場面で使われていて、
テレビのチャンネルを変えると局がかわるのも、飛行機が空を飛ぶのもこの微分方程式が解けるからこそなのです。

その微分方程式を解くためには微分の考え方を理解する事が不可欠なのは言うまでもありませんね。

ぱっと思いついたのはこれくらいなんですが。
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工学部を出ましたが、社会人では社会科学をバックグラウンドにしています。

その点から言いますと、

社会現象にはよくS字カーブが現れます。たとえばライフサイクルや、広告投資効果。最近では戦後の日本のGDP
が、ロジスティック曲線になっていることを発見しました。そのとき変曲点とか、微分系数がとても役にたちます。その変化点が社会現象的に、大きな意味を持っているからです。GDPの例で行くと、変曲点が1980年代の初期。それから日本が成熟化、老化に向かっていることがわかりましたよ!

こんなことは微分の概念がなければ気がつきません。
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皆さんがおっしゃっているように微分はこの世の数学や物理を支えています。

ということは科学も支えています。文明もです。
ところで、「微分の長所」といわれると何か他のものに比べないといけないような強迫観念にとらわれます。
それはさておき、「微分は傾きだ」とよく言われます。二次曲線(別に二次曲線でなくてもいいですが)にあるところで接線を引いたときこの接線の傾きはもとの曲線のその点での微分と一致するのです。
もしわかりにくければ、走った距離/走った時間が速度ですが、速度は距離を時間で微分したものです。微分と積分がなかったら今の文明はなかったような気がします。
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微分方程式では


例えば1変数の線型微分方程式の場合
微分の階数が1つあがると
解の積分定数が1つ増えます。
つまり、具体的な系のパラメータを
消してより普遍的な性質が取り出せます。
(パラメータが変わっても方程式は変わらない)

また、
局所的な線型空間のようなものを考えているので、
具体的な操作が明確な意味があるように見える
(線型代数で何とかなるさ!)。と
いうのもあるのではないでしょうか?

他にもいっぱいあると思いますが
私が思いついたのはとりあえずこんなところです。

確率微分とかいうとまた違うのでしょう。
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ん~ん、なんとも哲学的なご質問ですね。



では、哲学的な答えとして、「神の見えざる手が見える」とでも答えましょうか。例えば、X**2は微分すると2Xになりますよね。X>0とすると、Xの増分がX自身の2倍の大きさで増えるってことですよね。目に見えるあるものの変化の背後に隠れた変動をうかがい知ることができる、とでも言えますか。

学生のときに、そういう理解に発展できるのが「数学」のすばらしさだと「感動」した記憶があります。この辺は「文科系」の方々には味わえないかもしれません。
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Q微分不等式は存在するの?

微分方程式というのがあるのなら、微分不等式というのも存在するのでしょうか?

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E.ハイラー他著「錠微分方程式の数値解法I」p.55には、
「微分不等式」という章があります。

ということで、存在します。

Qx/x-1を微分すると、-1/(x-1)²となってどんな値でも負になるのですが、x/x-1は0<x<

x/x-1を微分すると、-1/(x-1)²となってどんな値でも負になるのですが、x/x-1は0<x<1において負でそれ以外が正になります。
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xの取れない値は分かりますか?
x=1とすると1/0となるのでx≠1ですね。
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xをほぼ1だけど1より大きい場合は、1/0.000000000000001みたいな感じですね。
同様にプラス側から近付けると∞に近付くことを表しています。

つまり、x≠1であり、1以外の全てのxにおいて傾きはマイナスである。
という意味です。

Q数IIの微分方程式について

数IIの問題集で次の微分方程式の問題がありました。

次を満たすf(x)を求めよ。
f'(x){f(x)-1/2} = 2xf(x)+x^2+3/16


解答

f(x)をn次式とおくと、
2n-1 ≦ n+1 すなわち n≦2 が成立
よって f(x)=ax^2+bx+cとおける。
     ・
     ・
     ・

ここからはf(x)を与式に代入していくというものですが、そこは理解できました。
どうしてこの不等式が出てきたのかがわかりません。
私は数学が苦手なほうなので、詳しめに教えてほしいです。

あと、微分方程式の解法についてインターネットで調べてみると、
この問題のように、「n次式とおく」というのは見つからなかったのですが、
この問題の微分方程式は特殊なものなのでしょうか。

解答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

「微分方程式も導関数についての方程式なのだから」
が、どこからどうつながって
「両辺の最高次数が一致しない場合もあるのでは」
の根拠になるのだか、全く理解できない。
奔放な発想力も大切だが、
最低限、話の脈絡はついてないと。

質問の微分方程式と二次方程式 x^2+4x+3=0 の間に、
「方程式」という単語が登場すること以外には
特に共通点は見つからない。

x^2+4x+3=0 の場合は、これを満たす x は有限個
しか存在しない。だからこそ、方程式を解いて、
x の値が何個かに決まる。

微分方程式のほうは、f についての方程式であって、
もともと x については恒等的に = が成り立つように
立式されている。
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決まってしまえば、あとは、x についての
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Q分子が文字の微分方法がわからないので教えてください。 例えば x/2 をxで微分する時です。

分子が文字の微分方法がわからないので教えてください。 例えば x/2 をxで微分する時です。

Aベストアンサー

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中学一年で、引き算が足し算になり、割り算が掛け算に変わったあたり・・・。数と計算を区別するようになったとき。
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とか
3-2≠2-3 だけど、2+(-3) = (-3)+2
この時に、2+(-3) とは、数直線上で +2 に (-3) を加える意味は、+2に-3を加えることだと

それが理解されていると、分数だろうが無理数だろうが未知数だろうが同じに扱える。
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
代数の基本・・・ここを徹底的に復習しておくこと。

x/2 とは、x × (1/2) で、交換則で、(1/2)×x という意味です。だから
d(ax)/dx = a
当然
x/2 は、(1/2)xのことだから、(x/2)' = 1/2

★いまさらと思わず、中学一年の一番最初の算数から数学に変わった当時の教科書を徹底的に復習しなおすこと。

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偏微分方程式の問題では、よく波動方程式や熱伝導方程式などの物理的意味のある問題が登場しますが、それ以外の偏微分方程式(連立偏微分方程式や3次の偏微分方程式など)はあまり重要ではないのでしょうか。

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参考URL:http://okwave.jp/qa/q6999183.html

Qf(x,y)が(a,b)で全微分可能である事の定義

f(x,y)が(a,b)で全微分可能である事の”厳密”な定義が解りません…

テキストにはf(x,y)が(x,y)で全微分可能であることの定義が載っていましたので、それを参考に以下を考えました。添削をお願いします。

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f(x,y)-f(a,b)=A(x-a)+B(y-b)+ε(x,y)√{(x-a)^2+(y-b)^2},ただし、(x,y)≠(a,b)と定義する時、

lim[(x,y)→(a,b)]ε(x,y)=0となる場合、f(x,y)は(x,y)=(a,b)で全微分可能である。

Aベストアンサー

> f(x,y)-f(a,b)=A(x-a)+B(y-b)+ε(x,y)√{(x-a)^2+(y-b)^2},ただし、(x,y)≠(a,b)と定義する時、
>
> lim[(x,y)→(a,b)]ε(x,y)=0となる場合、f(x,y)は(x,y)=(a,b)で全微分可能である。

個人的に気になるのは
(1) 一行目の「定義」という言葉
(2) (x, y) ≠ (a, b)という条件は必要無い気がする
というところでしょうか。

テキストの言葉づかいをそのまま使って
---------------------------------------------
f(x,y)-f(a,b)=A(x-a)+B(y-b)+ε(x,y)√{(x-a)^2+(y-b)^2
lim[(x,y)→(a,b)]ε(x,y)=0

と表現する事ができるならば、
関数z = f(x,y)は点(a, b)で全微分可能である。
---------------------------------------------
としてみたらどうでしょうか。

> 本日は全国的に地震がありましたが、

色々散らかって掃除が大変でした。

> f(x,y)-f(a,b)=A(x-a)+B(y-b)+ε(x,y)√{(x-a)^2+(y-b)^2},ただし、(x,y)≠(a,b)と定義する時、
>
> lim[(x,y)→(a,b)]ε(x,y)=0となる場合、f(x,y)は(x,y)=(a,b)で全微分可能である。

個人的に気になるのは
(1) 一行目の「定義」という言葉
(2) (x, y) ≠ (a, b)という条件は必要無い気がする
というところでしょうか。

テキストの言葉づかいをそのまま使って
---------------------------------------------
f(x,y)-f(a,b)=A(x-a)+B(y-b)+ε(x,y)√{(x-a)^2+(y-b)^2
lim[(x,y)→(a,b)]ε(x,y)=0

と表現する事が...続きを読む

Q常微分方程式の初期値問題 u'= -(2+sin(sin(u))u,

常微分方程式の初期値問題 u'= -(2+sin(sin(u))u, u(0)=1 の解は次の不等式を満たすことを示せ: 0<u(x)<=exp(-x) (x>=0) ただし、解の一意存在性定理(リプシッツ条件)を使ってよい。

上の問題を教えてください、お願いします。

Aベストアンサー

あまり自信はありませんが・・・

u(x)の逆関数x(u)を考える。
条件より、
dx/du=-1/(2+sin(sin(u)))u, x(1)=0

2-1<=2+sin(sin(u))<=2+1 なので、

u>0において、 -1/u<=dx/du<=-1/3u

したがって、0<u<=1なるuに対し、u~1までの積分値について
∫_u^1 {-1/u}du<=∫_u^1 {dx/du}du<=∫_u^1 {-1/3u}du
∴ ln(u)<=-x(u)<=ln(u)/3<=0
∴ -3x(u)<=ln(u)<=-x(u)<=0
∴ e^(-3x)<=u(x)<=e^(-x)<=1
∴ 0<u(x)<=e^(-x) (ただしx>=0)
  

Q大学教養程度の数学を学ぶときに、MuPADを使うとどんないい事がありますか

こんにちは。
 
 工学部や物理学科の教養課程程度の数学を学ぶ時にMuPADを使うと、どんないい事があるでしょうか。MuPADはこの位の数学の学習にどのように役立つのでしょうか。

 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

MuPADに限らず,この手の数式処理システム全般は
あくまでも
「自分で何をやっているのか把握できている」
という条件の下で使えば有用であるということです.
例えば,低次の余因子展開が自力でできないような学生が
MuPADで行列式を計算したって無意味です.
けど,データの解析とかで
あまりに巨大な行列を扱うときとかには
強力な武器です.

要は,小学校での四則の計算練習は
電卓があるからしなくていい
というと暴論になるのと同じでしょう.

Q微分方程式 線形 非線形

前回の質問の続きです。
前回の質問内容:http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7818206.html

ラプラス方程式が、2階線形偏微分方程式、
ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式であることは
理解できました。ありがとうございます。

微分方程式で参考書やインターネットにあった線形微分方程式と
非線形微分方程式を以下に示します。

線形微分方程式
(1)y”+y’-2x=0
(2)y’+xy=1
(3)(x-1)y''-xy'+y=0

非線形微分方程式
(1)(y”)^2+y’-2x=0
(2)x(y”’)^3+y’=3
(3)y・y’+xy=1

上記、線形/非線形の分類に間違いはあるでしょうか?

非線形微分方程式の(3)y・y’+xy=1は、なぜ非線形となるのでしょうか?
y・y’+xy=1⇒y’+x=1/y⇒y’+x-1/y=0は線形ではないでしょうか?

線形微分方程式(2)y’+xy=1も、xy’+xy=1となると非線形になるの
でしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

←A No.3 補足

> 多項式においてxとyを共に変数とすると、
> xyもyyもどちらも2次ですよね?
A No.3 を、ほとんど読んでないようですね?

xy も yy も { x,y } については 2 次です。
しかし、y についての微分方程式の次数を数えるときは、
{ y,y',y'',y''',… } についての次数を見るのです。

x は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれていません。
yy' は、y と y' が 1 次づつの積で { y,y',y'',y''',… } については 2 次、
xy' は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれるのが y だけで 1 次です。

(u-1)(v^2+v+1)w が、{ u,v } について 3 次であることも解りますか?


また、
> yy’とxy’におけるxとyはどちらも微分していないので、
のようなことが気になってしまうなら、

yy’+xy=1 は、AB+xA-1=0 の A,B に { y,y',y'',y''',… } の
どれかを代入したもの。AB+xA-1 は { A,B } について何次式か?
と考えてみるとよいと思います。

微分方程式を、多変数多項式=0 の多変数に y または y の高次導関数を
代入したものと見たときに、左辺の多項式の次数が微分方程式の次数。
それが 1 次なら、線型。更に定数項が 0 なら、同次 1 次です。

←A No.3 補足

> 多項式においてxとyを共に変数とすると、
> xyもyyもどちらも2次ですよね?
A No.3 を、ほとんど読んでないようですね?

xy も yy も { x,y } については 2 次です。
しかし、y についての微分方程式の次数を数えるときは、
{ y,y',y'',y''',… } についての次数を見るのです。

x は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれていません。
yy' は、y と y' が 1 次づつの積で { y,y',y'',y''',… } については 2 次、
xy' は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれるのが y だけで 1 次です。

(u-1)(v^2+v+1)w ...続きを読む

Q微分方程式をさらに微分する

下の画像のような微分方程式(*)においてR=(z^2-1)^Lとする。

(*)をzで1回微分すると(1)式になり、さらに1回微分して(2)式、また微分して(3)式のようになるようですが、どうしてこうなるのでしょうか。それに微分方程式なのにそれをまた微分するという操作がよく分かりません。文章の通りに単純に微分しただけなんでしょうけど、-2(L-2)zが-2(L-3)zとなったり、-2(2L-1)が-2(3L-3)となったりと、どのようにして係数が変化したのか解説をお願いします。m(__)m

Aベストアンサー

積の微分を考えれば(1)(2)(3)と係数変化していくと思います。
(*)の第2項がそのまま(1)の第2項になっているわけではないですよね、(*)第1項の微分からも2階微分は出てきますので
なぜにこういう操作をするかはもっと詳しいかたを待ちます(すいません、わかりません)。


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