ベクトルの内分点を求めるとき、t:1-tとおく問題があります。
なぜ、この様な比で置くんですか??

A 回答 (4件)

 まず、三角形OABを考えてください。

このときの三角形は逆三角形で考えるとさらに分かりやすいです。そうするとOを始点とし、その上に線分ABがくるはずです。
そしてその線分AB上のどこかに点Pをとります。

 すると(ベクトルOP)=(ベクトルOA)+(ベクトルAP)となりますね。
 ここで点Pは線分AB上にとってあるので(ベクトルAP)=t倍(例えばt=0.5)の
(ベクトルAB)となります。
 つまり(ベクトルOP)=(ベクトルOA)+t*(ベクトルAB)-(1)ということです。
 さらに(ベクトルAB)=(ベクトルOB)-(ベクトルOA)ですから、
 これを(1)に代入すると
 (ベクトルOP)=(ベクトルOA)+t*[(ベクトルOB)-(ベクトルOA)]となります。

 これを整理すると(ベクトルOP)=(1-t)*(ベクトルOA)+t*(ベクトルOB)-(2)となります。(2)は線分ABを t:1-tに内分していることと同じですよね。
 ですから t:1-tや1-t:tと置くわけです。
 簡単に言うとベクトル方程式といいます。
 もし、分からなければまた書きます。
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 たとえば、極端な場合を考えて


ベクトルではなく、数直線の上で考えてみればいいと思います。
 原点O(x=0)からA(x=1)の間の点をB(x=t)と置くと
原点Oから点Bまでの距離はt、点Aから点Bまでの距離は1-t
となります。つまり、単純に間の点の位置を
(t^2とかややこしい関係にしないで)
パラメータで表しただけというのがわかるかと思います。

 ここから一般化して
ベクトルで物事を考えると座標系をどのようにとっても
性質は変わらないので、ベクトルP、Qが与えられたとき
座標系としてPを原点、Qを上記のAとして、かつ、PQの長さが
1になるような系を考えれば自然な値の置き方になると思います。
(ややこしく考えているように見えると思いますが、
 難しい問題を解くときには、
 簡単な系に移して見ると
 わりと簡単に解けたりすることもあります。
 もちろん、この場合は説明のためですが)
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べつに、x:yでも良いんですよ。



ただ、全体を1,すなわちx+y=1とした方が、比を扱う上で楽だし、
そうすると、y=1-x、となるので、結局

 x:1-x

と置くことになるのです。
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原点0、点A、点Bがあったとして点A、点Bの位置ベクトルをa,b(上に→がついてると思ってください。

)で表すと、
a,bが平行じゃない時、平面上の全ての点の位置ベクトルは2つの数x,yを使って
xa+yb    …(i)
と表す事が出来るんです。

その中でもx+y=1と限定した時、(i)は直線AB上の点を表すのです。
さらにx≧0,y≧0の時、(i)は線分AB上の点を表します。つまり内分点です。
そこでこのようにx+y=1,x≧0,y≧0と断わって
xa+yb    …(i)
と表す代わりに、xをtに置き換え、yを1-tにおきかえると
t + (1-t) = 1
となり、t≧0, 1-t≧0 すなわち0≦t≦1という条件の元に
ta+(1-t)b    …(ii)
と1つの変数で表す事が出来るのです。

分かっていただけたでしょうか?説明するのって難しいですね。
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質問1
任意の2本の線分を考えます。
このとき2線分の長さ比は、必ずしもt:1-tで表せるとは限りませんよね
(tは任意の実数)
直感的に表すことはできないと思うのですが、うまく証明できませんでした
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質問2
任意の線分AB に 任意の分点O を設定し
線分AO と 線分OB に分けたときには
線分AO と 線分OB の長さの比は
必ずt:1-tで表せますよね?
(tは任意の実数)
このことも証明できませんでした。
証明を教えてください。

※ちなみにこの分点は 内分点であるケース 外分点であるケース
両方を想定しています。

Aベストアンサー

質問1
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質問2
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a/(a+b)=tと置けば、a:b=a/(a+b):b/(a+b)=t:1-t
ようは、全体を1と見たとき、一方がtなら,もう一方は1-tですよ。ということです。

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Qベクトルa,ベクトルbと実数tに対してP=|ベクトルa+tベクトルb|

ベクトルa,ベクトルbと実数tに対してP=|ベクトルa+tベクトルb|とする。すべての実数tに対してP≧|ベクトルa|が成り立つとき、ベクトルaベクトルbの間にどのような関係式が成り立つか
という問題で分からない箇所がございました。

解説
P≧0であるから P≧|ベクトルa|はP^2-|ベクトルa|^2≧0と変形できる。・・・(1)

与式のP=|ベクトルa+tベクトルb|を2乗し変形すると、
P^2-|ベクトルa|^2=|ベクトルb|^2t^2+2ベクトルa・ベクトルbtになるので、
(1)よりP^2-|ベクトルa|^2=P^2-|ベクトルa|^2=|ベクトルb|^2t^2+2ベクトルa・ベクトルbt

よってP^2-|ベクトルa|^2がすべての実数tに対して成り立つ条件は

|ベクトルb|^2=0かつベクトルa・ベクトルb=0・・・(2)
または
|ベクトルb|^2>0かつ|ベクトルb|^2t^2+2ベクトルa・ベクトルbt
の判別式D=ベクトルa・ベクトルb≦0・・・(3)

(2)からベクトルb=0  (3)からベクトルb≠0 かつベクトルa・ベクトルb=0
したがって、求めるベクトルa・ベクトルbの関係式はベクトルa・ベクトルb=0である


が答えだそうなんですが、最後の
>したがって、求めるベクトルa・ベクトルbの関係式はベクトルa・ベクトルb=0

が理解できません。
>(2)からベクトルb=0  (3)からベクトルb≠0 ベクトルa・ベクトルb=0
なので、すべての実数tに対してP≧|ベクトルa|が成り立つ条件は
ベクトルb=0またはベクトルb≠0 かつベクトルa・ベクトルb=0ってことですよね?
そこからどうして
「したがって、求めるベクトルa・ベクトルbの関係式はベクトルa・ベクトルb=0」になるのでしょうか?すべての実数tに対してP≧|ベクトルa|が成り立つ条件から、
ベクトルaとベクトルbを使った式を選んで答えにしただけなんでしょうか?

ベクトルa,ベクトルbと実数tに対してP=|ベクトルa+tベクトルb|とする。すべての実数tに対してP≧|ベクトルa|が成り立つとき、ベクトルaベクトルbの間にどのような関係式が成り立つか
という問題で分からない箇所がございました。

解説
P≧0であるから P≧|ベクトルa|はP^2-|ベクトルa|^2≧0と変形できる。・・・(1)

与式のP=|ベクトルa+tベクトルb|を2乗し変形すると、
P^2-|ベクトルa|^2=|ベクトルb|^2t^2+2ベクトルa・ベクトルbtになるので、
(1)よりP^2-|ベクトルa|^2=P^2-|ベクトルa|^2=|ベクトルb|^...続きを読む

Aベストアンサー

>>(2)からベクトルb=0  (3)からベクトルb≠0 ベクトルa・ベクトルb=0
>なので、すべての実数tに対してP≧|ベクトルa|が成り立つ条件はベクトルb=0またはベクトルb≠0 かつベクトルa・ベクトルb=0ってことですよね?
>そこからどうして「したがって、求めるベクトルa・ベクトルbの関係式はベクトルa・ベクトルb=0」になるのでしょうか?

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Aベストアンサー

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Q内分点の位置ベクトルについて

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初めて、高校数学を教える者です。内分点の位置ベクトルについて質問します。教科書では、「2点A(a→),B(b→)を結ぶ線分ABを
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Aベストアンサー

こんばんわ。

数学の言葉を借りれば、「線形性により」問題はありません。
単純に和の順番を変えているだけですからね。

おそらく、分母・分子の mと nの位置を合わせた方が覚えやすいという配慮だと思います。
それも構わないのですが、「やっかいさ」は残ると思います。
特に「外分」はピンとこないことも多いと思います。

いままで同じようなことを何回か書き込んでしまっていますが、
参考URLのような考え方(覚え方)もあります。
ご参考になれば、幸いです。

参考URL:http://okwave.jp/qa/q5829767.html

Q3つの比「1:2:3」と「1:4:6」がどの程度近いか(距離,類似度)を求める方法がわからず,困っています・・・

3つの比「1:2:3」と「1:4:6」の比の近さと,「1:2:3」と「1:5:10」がどの程度近いか(距離,類似度でもいい)を求める方法がわからず,困っています.

例えば,簡単に推測可能な,2つの比でやると,
<例1> (1)「1:2」と「1:3」の距離と,(2)「1:2」と「1:6」の距離がどちらが近いかは,
(1) < (2)
だと,誰もがわかると思います.
また,
<例2>(1)と,(2)と,(3)「1:3」と「1:10」の距離に対しても,
(1) < (2) < (3)
だと,感覚的にわかると思います.

これを応用して,「3つの比の類似度(比較)」を数値で表す方法はどのようにするのでしょうか?

------------------------------------------------
今まで思いついた案を,先ほどの2つの比の例でやってみます.
(※以下,分数の計算は小数点0.01未満切り捨て)

【案1】 左辺を1に正規化して,右辺を「引いた絶対値」
<例1> (1)|3-2|=1 < (2)|6-2|=4  => (1)が(2)より 3 近い
で表す方法が考えられます.
しかし,この場合,
<例2> (1)1 < (2)4 >??? (3)|10-3|=7 
となり,感覚と違ってしまいます.

【案2】 左辺を1に正規化して,右辺を「前から後ろを割る」
<例1> (1)|2/3|=0.66 >??? (2)|3/6|=0.5  => (1)が(2)より|0.66-0.5| = 0.16 近い?
となり,符号が逆になってしまいます.

【案3】 左辺を1に正規化して,右辺を「後ろから前を割る」
<例1> (1)|3/2|=1.5 < (2)|6/3|=2  => (1)が(2)より|1.5-2| = 0.5 近い
                      もしくは,|1.5/2| = 0.75 倍
と表す方法が,今のところ,妥当だと考えています.
また,この場合は,
<例2> (1)1.5 < (2)2 < (3)|10/3|=3.33
=> (1)が(3)より|1.5-3.33|= 1.83 近い,|1.5/3.33|= 0.45 倍
=> (2)が(3)より|2-3.33|= 1.33 近い, |2/3.33|= 0.60 倍
となり,綺麗に比較できます.
-----------------------------------------------

しかし,3つの比「1:2:3」と「1:4:6」との比較をする場合,
案1の引き算では,それぞれの辺を引いた絶対値(|4-2|+|6-3|,2辺の足し算でいいかどうかは不明)を取る方法が考えられますが,
2つの比の結果より,直観と異なると思います.

また,案2,3割り算も,どれをどう割ったらいいのか,わかりません.

以下,メモです.
(よりよい解法・説明を導くうえで,もし何かの参考になりましたら幸いです.)
====================
(例えば,4/2+6/3?,(4/2)*(6/3)?,でもこの連結演算子になる理由は?)
感覚的には,3つの比というのは,3軸のベクトルと似ている気がします…
例えば,A=(1,2,3),B=(1,4,6)とおいてみると,
内積A・B = 1*1+2*4+3*6 = 24,
外積A×B = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)=(2*6-3*4, 3-6, 4-2) = (12, -3, 2),
となる.
ただ,これらが何を意味しているのかは,私にはさっぱりわかりません.
======================

3つの比の比較をする計算方法をご存じの方がいれば,教えていただけないでしょうか?
正直,私は難しく考えすぎる傾向があり,案外,簡単なことなのかもしれません.
実際にどんな比重を対象にするかで,正解はないのかもしれませんが….

よろしくお願いします.

3つの比「1:2:3」と「1:4:6」の比の近さと,「1:2:3」と「1:5:10」がどの程度近いか(距離,類似度でもいい)を求める方法がわからず,困っています.

例えば,簡単に推測可能な,2つの比でやると,
<例1> (1)「1:2」と「1:3」の距離と,(2)「1:2」と「1:6」の距離がどちらが近いかは,
(1) < (2)
だと,誰もがわかると思います.
また,
<例2>(1)と,(2)と,(3)「1:3」と「1:10」の距離に対しても,
(1) < (2) < (3)
だと,感覚的にわかる...続きを読む

Aベストアンサー

%%%%引用開始
【案1】 左辺を1に正規化して,右辺を「引いた絶対値」
<例1> (1)|3-2|=1 < (2)|6-2|=4  => (1)が(2)より 3 近い
で表す方法が考えられます.
しかし,この場合,
<例2> (1)1 < (2)4 >??? (3)|10-3|=7 
となり,感覚と違ってしまいます.
%%%%%引用終了

「例2」がわからない.
なんで,(1)1 < (2)4 > (3)7 なんだろう?
(1)1 < (2)4 <(3)7
じゃないの?

で・・・比ってのは,「正規化」することで次元が落とせます.
一般にn+1個の比 a1:a2:a3:a4:・・・:an:an+1 は
どれか必ずは0ではない ai が存在するので,
そのaiで割り算することで,かならず「正規化」できます.
そして,正規化することで,普通の「座標」とみなせます.
ということで,「比の全体」は
n+1個の「座標」によって覆われていると考えられます.
となると,「二つの比」の距離として考えられるのは,
「二つの比が同じ座標にあれば,その座標での距離」
と考えるのは自然でしょう.
「二つの比がどうやっても同じ座標にないときは,距離は無限大」
とみなしておきます.
無限大とみなすことの意味は,
比1:0と比0:1を考えればなんとなくわかると思います.
#気分としては,1:0が0で,0:1が1/0の感覚で「無限大」
#数学的には「実数の一点コンパクト化」という操作に相当して
#実数の「端っこ」を結んで円周にしてしまうイメージ
#xy平面で「直線」の傾きを考えることにも対応する.
#y=axでaを無限にするとy軸になって,それを超えると
#マイナスで絶対値の大きな数がでてくるのが「円周」の雰囲気

これが一つの考え方で,
数学では比全体の集合を「射影空間」と呼び,
きわめて重要な研究対象です。

別の視点からみると・・・・
射影空間は「比の集合」ですが,
比 a1:a2:・・・:an:an+1 を与えることは
n+1次元空間で
a1 x1 + a2 x2 + ・・・ + an xn + an+1 xn+1 = 0
という原点を通る超平面を定めることと同じです.
ということで,「比の距離」を考えることはすなわち,
原点を通る「超平面の距離」を考えることと同じです.
ということで,あとは「超平面の距離」という
比較的目に見えるもので解釈できます.
比1:0と比0:1の例でいけば
比1:0は x=0(y軸),比0:1はy=0(x軸)になるわけで,
考えるのは「直線どうしの距離」.
あとはこの「直線どうしの距離」として
妥当なものを考えればいいのでしょう.
#角度(法線ベクトルのなす角やその正弦や正接)が直観的かな

けども・・・
>実際にどんな比重を対象にするかで,正解はないのかもしれませんが….
結局はそういうことです.
普通の距離だって
ユークリッド距離だとかマハラノビス距離とか
いろいろあるし,実際問題としては
「時間的に近い」とか
「交通費が安ければ近いと見なす」というような
尺度だってあります.

%%%%引用開始
【案1】 左辺を1に正規化して,右辺を「引いた絶対値」
<例1> (1)|3-2|=1 < (2)|6-2|=4  => (1)が(2)より 3 近い
で表す方法が考えられます.
しかし,この場合,
<例2> (1)1 < (2)4 >??? (3)|10-3|=7 
となり,感覚と違ってしまいます.
%%%%%引用終了

「例2」がわからない.
なんで,(1)1 < (2)4 > (3)7 なんだろう?
(1)1 < (2)4 <(3)7
じゃないの?

で・・・比ってのは,「正規化」することで次元が落とせます.
一般にn+1個の比 a1:a2:a3:a4:・・・:an:an...続きを読む


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