こんにちは。
当方、文系なりに事務に必要で統計を勉強しているものです。

エクセルにNORM.DISTという関数があります。

X~N(μ,σ^2)である確率変数Xについて、

①確率変数Xについて指定する任意の値(例えばxとする)
②μの値
③σ^2の値
④True

という引数を指定すれば、
Xがx以下の値をとる確率を教えてくれるというものです。
仮に、x=-1.96 μ=0 σ^2=1と指定すれば、
2.5%と返してくれます。

これは納得できるのですが、
最後のTrueをFalseに変えれば、
X=xとなる確率を教えてくれる、というような説明がネット上にあります。

その確率P(X=x)は、確率密度関数f(X)にxを代入して求めるそうなのですが……

①そうやって算出される値は、あくまで「確率密度」であって、「Xがxを取る確率」とは異なるので はないですか?
②連続型の確率変数であれば、特定の確率変数に、0を越える確率を紐づけることは出来ないのではな いですか?

という点で納得できていません。
実際に、上記の例でTrueをFalseに替えれば、0.058441...といったような値が返されます。
P(X<-1.96)=0.025なのに、P(X=-1.96)=0.058441となるのは明らかに変ですよね?

なので、「エクセルのNORM.DIST関数を使えば、確率変数が特定の値をとる確率がわかる」という言説は間違いだとおもっているのですが、それなら、特定の確率変数に紐づいている確率密度が分かって何か便利なことがあるのでしょうか?
NORM.DISTにFalseを組み合わせるとこういう便利なことが出来るよ、というものがあれば、
詳しい方、分かりやすく教えて下さると有りがたいです。

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A 回答 (1件)

エクセルにNORM.DISTという関数は、Trueなら「累積確率」(-∞< x ≦ X)を、False なら確率密度関数の値そのものを返します。



確率密度関数とは、-∞ ~ ∞ で積分すると「1」になる関数ですが、当然特定の値では関数値を持ちます。

たとえば、f(x) = x (x<0, 1<x では f(x)=0 )という分布の関数は確率密度関数ではありません。その分布の確率密度関数にするには、f(x) = 2x とする必要があります。
この f(x) = 2x がわかれば、分布のグラフが書け、[0, 1] の任意の区間の確率を求められます。

正規分布に関しても同じです。

どんな便利なことができるか?
別に便利なことはありませんが、平均、標準偏差が分かっているときの「正規分布」のグラフが書けます。グラフのピーク値(平均値の度数)を決めておけば、各数値での相対度数が計算できます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

*やはり、falseで特定の確率変数に紐づいた確率が分かる、という言説は明確な誤りということですね。確率変数が任意の区間の値をとる確率を確率密度関数を使って求める方法は理解しております。

*正規分布のグラフを描画できる、という使い方は確かにそうですね……。機会があれば使いたいと思います。

ありがとうございました!

お礼日時:2016/08/16 13:33

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Q確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0

宜しくお願い致します。

[Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere
a) Find c so that f is indeed a probability density function.
b) Find P(X<1,y>1/2).
c) Find the probability density function of X.

[問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。
(a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。
(b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。
(c) Xの確率密度関数を求めよ。

[(a)の解]fが本当に確率密度関数なら∫_y∫_xf(x,y)dx=1.
∫[0..2]∫[y..0]cxy^2dxdy=∫[0..2]cy^2[x^2/2]^y_0dy
=∫[0..2]cy^2(y^2/2)dy=c/2∫[0..2]y^4dy=c/2[y^5/5]^2_0
=c/2(32/5)=32c/10=1. ∴c=5/16

[(b)の解]P(X<1,Y>1/2)=∫[1/2..2]∫[0..1]5xy^2/16dxdy
=∫[1/2..2]5y^2/16[x^2/2]^1_0dy
=∫[1/2..2]5y^2/16・(1/2)dy
=5/32∫[2..1/2]y^2dy
=5/32[y^3/3]^2_1/2
=5/32[8/3-1/8/3]
=0.41

[(c)の解]f_x(X)=∫_yf(x,y)dy=∫[0..2]5xy^2/16dy
=5x/16[y^3/3]^2_0=5x/16(8/3)=5x/6

で(c)の解が間違いだったのですが正解が分かりません。
正解はどのようになりますでしょうか?

宜しくお願い致します。

[Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere
a) Find c so that f is indeed a probability density function.
b) Find P(X<1,y>1/2).
c) Find the probability density function of X.

[問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。
(a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。
(b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。
(c) Xの確率密度...
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Aベストアンサー

うーん、前回の質問といい、なぜ前の2問ができてこれを間違うのでしょう?
発展問題というより、視点を変えただけで難易度も考え方も同じです。
今回は前回よりは勘違い度が低いのできちんと書いておきます。

f(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)
なのですからyの積分範囲は下限x,上限2ですね。

5x/16∫[x,2]y^2dy=5x/16 * [y^3/3]^2_x=5x/48 * (8-x^3)
(=5x/6-5x^4/48)

Q確率変数XがP(X=1)=P(X=2)なるポアソン分布を持つならばP(X=4)を

もし確率変数XがP(X=1)=P(X=2)なるポアソン分布を持つならばP(X=4)を求めよ。

という類の問題なのですがどなたか解き方をご教示ください。

ポアソン分布とは
「ポアソン分布
特定の事象が起こる確率pはきわめて小さいが、試行回数nが非常に多いためにその
事象が何回かは起こるときその生起回数の分布として表れる。
パラメータλのポアソン分布の確率密度関数は
p_λ(k)=(λ^k)e^-λ/k!である。ポアソン分布の平均、分散はともにλである」
といったものです。

Aベストアンサー

ポアソン分布において、
P(X=k) = {(λ^k)/k!} e^(-λ)
ですから、条件 P(X=1)=P(X=2) からλ(>0)を求め、それからP(X=4)を求めれば良いです。

P(X=1) = λ e^(-λ)
P(X=2) = {(λ^2)/2!}e^(-λ)
P(X=1) = P(X=2) ⇔ λ e^(-λ) = {(λ^2)/2!}e^(-λ)
λ = (λ^2) / 2
λ (λ - 2) = 0
λ>0 として λ = 2
P(X=4) = {2^4/(4!)} e^(-2)

> p_λ(k)=(λ^k)e^-λ/k!である
に数字を入れて解くだけなのに。ポアソン分布の説明を書いていただいたのは良いのですが、その時間があるなら、ご自分で計算してみてはいかが?

Q確率密度関数: p(x) = {1/x^2 (x>=1), 0 (ot

確率密度関数: p(x) = {1/x^2 (x>=1), 0 (other)} の平均値?

上記の確率密度関数の分布の平均値 E[X] を自力で求めようと試みたところ、

E[X] = ∫[∞,-∞]xp(x)dx = ∫[∞,1]x・(1/x^2)dx + ∫[1,-∞]x・0dx
=∫[∞,1](1/x)dx = [ln(x)][∞,1] = ∞

となってしまい、平均値が∞という結果となり、少し違和感があります(平均値が1を超える結果を今まで見たことがないので)。

一方で、数学が得意でない私にとって平均値:∞が絶対に変だという自信もありません。

私が間違った計算方法をしているのかもしれませんが、確率密度関数の平均を求める公式(下記URL):
(http://www.nyanya.sakura.ne.jp/es/math/kaku001.html)
を適用できると思い、これを用いて計算しました。

どなたか私の計算結果(計算方法も含めて)の正誤の判断をして頂ける方、ご回答の程よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

2母数Pareto分布 Pareto(a,b) で、a=b=1 のケースです。
Pareto(a,b) については添付画像をご参照ください。
info22さんがおっしゃったようにこの場合はE (X) が存在せず、質問者様の結果はあっていると思います。
>>平均値が1を超える結果を今まで見たことがないので)。
それは誤解です。例えば正規分布N(μ,σ^2) の平均はμで、―∞<μ<∞ の値はいずれも可能です。
>>平均値:∞が絶対に変だという自信もありません。
平均(期待値)は1つの無限級数の和または広義積分の結果ですから、収束しないことは十分ありえます。

例1:Cauchy 分布 C(0,1) , or 自由度1のt分布
密度 f(x) = 1/ {π ( 1+ x^2 ) } ( ―∞<x<∞)
E (X) : 定まらない, Var(X)=∞

例2:第2種ベータ分布 Beta2(p,q),
密度 f(x)= { 1 / B(p,q) } *{ x^ ( p-1) / (1+x) ^(p+q) } (0<x<∞)
p=q=1 の時,やはり E(X) = ∞

以上ご参考になりましたら幸いです。

2母数Pareto分布 Pareto(a,b) で、a=b=1 のケースです。
Pareto(a,b) については添付画像をご参照ください。
info22さんがおっしゃったようにこの場合はE (X) が存在せず、質問者様の結果はあっていると思います。
>>平均値が1を超える結果を今まで見たことがないので)。
それは誤解です。例えば正規分布N(μ,σ^2) の平均はμで、―∞<μ<∞ の値はいずれも可能です。
>>平均値:∞が絶対に変だという自信もありません。
平均(期待値)は1つの無限級数の和または広義積分の結果ですから、収束しないことは十分あり...続きを読む

Qf(x1,x2)=12x1x2(1-x2) (0

[問]同時確率密度関数f(x1,x2)=
12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
0 (その他の時)
における確率変数X1とX2が独立である事を示せ。

が示せず困っています。
どのようにして示せますでしょうか?

一応,定義は下記の通り,調べてみました。
確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする)
そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。
この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら
れた時,
B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られる。
このP_Xを確率分布といい,特にXがX=(X1,X2)という確率ベクトルになっている時,
P_XをX1,X2の同時分布という。
独立とは∀A1,A2∈Fに於いて,P(X1∈A1,X2∈A2)=P(X1∈A1)P(X2∈A2)が成り立つ事で
ある。

「確率分布関数 f(x,y)において、
f1(x)=∫[-∞,∞]f(x,y) dy
f2(y)=∫[-∞,∞]f(x,y) dx
と定義すると、確率変数x,yが独立であることの必要十分条件は
f(x,y)=f1(x)f2(y)」
と思いますので

f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞

f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞

と求めましたがこれから先に進めません。どのようにすればいいのでしょうか?

[問]同時確率密度関数f(x1,x2)=
12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
0 (その他の時)
における確率変数X1とX2が独立である事を示せ。

が示せず困っています。
どのようにして示せますでしょうか?

一応,定義は下記の通り,調べてみました。
確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする)
そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。
この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら
れた時,
B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られ...
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Aベストアンサー

>f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
f1(x1)=∫[-∞,∞]f(x1,x2) dx2=∫[0,1]f(x1,x2) dx2
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx2
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x1∫[0~1](x2-x2^2)dx2
>=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞
=2x1*[3x2^2 -2x2^3] [x2:0~1]
=2x1*(3-2)=2x1 (0<x1<1)
f1(x1)=0 (0<x1<1以外)

>f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
f2(x2)=∫[-∞~∞]1f(x1,x2)dx1=∫[0~1]1f(x1,x2)dx1
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx1
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x2(1-x2)∫[0~1] x1dx1
>=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞
=6x2(1-x2)[x1^2] [x1:0~1]
=6x2(1-x2) (0<x2<1)
f2(x2)=0 (0<x2<1以外)

f1(x1)f2(x2)=2x1*6x2(1-x2)
=12x1x2(1-x2)=f(x1,x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
f1(x1)f2(x2)=0=f(x1,x2)(0<x1<1,0<x2<以外の時)

>f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
f1(x1)=∫[-∞,∞]f(x1,x2) dx2=∫[0,1]f(x1,x2) dx2
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx2
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x1∫[0~1](x2-x2^2)dx2
>=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞
=2x1*[3x2^2 -2x2^3] [x2:0~1]
=2x1*(3-2)=2x1 (0<x1<1)
f1(x1)=0 (0<x1<1以外)

>f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
f2(x2)=∫[-∞~∞]1f(x1,x2)dx1=∫[0~1]1f(x1,x2)dx1
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx1
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x2(1-x2)∫[0~1] x1dx1
>=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞
=6x2...続きを読む


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