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参考書に、
二原子分子理想気体の運動エネルギーは重心の運動エネルギーと相対速度の運動エネルギーの和でそれぞれ計算し、(3/2)kTとしたのですが、相対運動についてを分子の振動を無視すると回転方向が2つ、つまり自由度が2つなので二原子分子の平均エネルギーは3つの自由度を持つ運動エネルギーと2方向の自由度を持つ回転エネルギーの和になり、(3/2)kt+(1/2)kt×2
のような記述があったのですが、相対運動エネルギーを足して(3/2)kt+(3/2)kt+(1/2)kt×2になるとおもうのですが、ちがうのでしょうか?そういうことではなくて相対運動エネルギーのなかの回転エネルギーを足したということでしょうか?そうだとすると振動の分のエネルギーはどこへ消えたのでしょうか?
読みにくくてごめんなさい。また間違った解釈が多々あると思いますのでぜひご指摘、ご指導お願いします。

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A 回答 (6件)

>自由度一つにつきなぜ(1/2)ktなのですか?



そこは「古典統計力学」を学んでください。
理系大学の2~3年レベルで物理専攻じゃないとまずやらないです。
正準集団と調和振動から導くんだったかな?
だとすると解析力学の基礎も必要ですね。
#うろ覚え

結論はシンプルですが、けっこうごつい積分がわらわら
出てくるので追うのが大変です。

私も教科書読み直さないと、あんまり覚えてないです
30年くらい見てない(^^;
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
そうなんですか(-_-;)

お礼日時:2016/08/22 00:24

>そういうことではなくて相対運動エネルギーのなかの


>回転エネルギーを足したということでしょうか?

そういうことです。

>そうだとすると振動の分のエネルギーはどこへ消えたのでしょうか?

古典的なエネルギー等分配則は、量子力学の世界では
成り立たないのです。量子論では回転や振動のエネルギーは
量子化されるため、回転や振動にエネルギーがゆくにはある程度
分子の内部エネルギーが大きくなければなりません。

まずエネルギーは並進運動のエネルギーとして分子に溜まり、
次に回転エネルギーに、最後に振動エネルギーへ分配されて
ゆきます。

つまり、一般に2原子分子は、低温では自由度3、常温では自由度5、
高温では自由度6に変化するのです。

高校の教科書あたりでは5を採用してますが、
事情を抑えて上で鵜呑みにしないようにしてください。

そういう意味でよい質問だと思います。核心を突いてます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
自由度一つにつきなぜ(1/2)ktなのですか?
並進運動については、圧力がP=mv^2/L^3(※立方体の容器を仮想して1辺をLとした)、体積がL^3となり、気体の状態方程式に当てはめ、mv^2=nRTから一方向あたり(1/2)ktとなったのですが、回転エネルギーはどのようにして1/2ktを導くのですか?

お礼日時:2016/08/21 19:40

No.2です。



>参考書ではなぜか相対運動エネルギーを(3/2)ktと算出して、その後振動を無視して…と続き、自由度が2なので(1/2)kt×2としています。
相対運動エネルギーを算出した意味は特にないのですか?

 本当にそう書いてありますか?
「重心の運動エネルギーを(3/2)ktとして」
ではありませんか? 質問者さんは、「重心の並進運動」と「重心周りの相対運動」の区別がついていないようなので。

 もしそう書いてあるのだとしたら、「重心周りの相対運動の自由度は最大3なので、とりあえず(3/2)ktと書くが、振動は無視するので (1/2)kt×2 でよいものとして考える」というような意味ではありませんか? 実際にはどのように書かれているのか分かりませんが。

 書いてあることが素直に理解できない参考書は、巷で「良書」と呼ばれていても、あなたには相性が合わない、もしくはレベルが高すぎるので、やめておいた方が身のためです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
重心運動のエネルギーと相対運動のエネルギーの総和が系全体の運動エネルギーということですよね。
参考書は重心運動のエネルギーと相対運動のエネルギーをそれぞれ算出しています。
参考書はの意味したかった事は、運動エネルギーと気体の内部エネルギーは単純には同じではないということを伝えたかったのですか?
ほかの多くの高校生向きの参考書はどれも曖昧でやっても物理が理解できるとは到底思えません。ただ単に公式を当てはめてパズルのように解かせようとしています。全く体系的ではないのです。
一方こちらの参考書は比較的体系的かつ定量的に議論を展開して下さるので良書だと感じています。
自分には少し難しいですが、うんうん唸ってじっくり手を動かしながら読んでいくのが良いのだと思います。少しレベルの高い本は、自分が何がわかってないのかがよくわかるので重宝しております。
話題がずれてしまいごめんなさい。

お礼日時:2016/08/21 00:06

むかし研究所に雇って貰っていた頃、オープンキャンパスがあり、「おまえおしゃべりで、視点が常識と違うから子供が喜ぶ」と言われ、結構乗って引率兼説明役を引き受けました、巨大な研究所なので、「うちにこんなのあったんか」というものの山。

で、研究では組んだ事は無いが付き合いはある同僚に「これって複雑すぎる系だけど自由度どうするの?」と訊きました、私は化学屋だし相手は物理屋、その上私は恥知らず、同僚はにっこり笑って「どんな複雑な系だろうとn個の剛体からなる系の総自由度は、縮重・縮退を考えても3nっきゃ無いよね」大笑い。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
懐かしい話を聞かせていただきありがとうございます。
どこが笑いどころかおしえてくださいーー

お礼日時:2016/08/20 18:34

No.1です。



>相対運動エネルギーはなぜ最初に算出したのかがわかりません。

 ははあ、どうやら「相対運動」の意味を取り違えていますね?

 「重心の運動エネルギー」は、「二原子分子」を質点とみなしたときの運動エネルギーです。
ただし、「二原子分子」はある「広がり」と「質量の分布」を持っていますので、重心の運動だけでは全ての運動を記述できません。「重心周りの運動」を考える必要があります。これを「相対運動」と呼びます(重心周りの、重心に対する相対的な運動)。
 重心周りの、二原子の「伸び縮み」や「回転運動」です。
 「二原子」を結ぶ軸に沿った「伸び縮み」が「振動」です。
 回転運動には、「二原子」を結ぶ軸の周りの回転と、この軸に垂直な面の回転の2つの自由度があります。

 (3/2)kt+(1/2)kt×2 という式は、
・重心の運動エネルギー(3自由度):(3/2)kt
・重心周りの相対運動として、重心回りの回転の運動エネルギー(2自由度):(1/2)kt×2
という意味かと思います。


>自由度が2なら(1/2)kt×2という訳では無いのですか?

 これは何をおっしゃりたいのか、意味を理解しかねます。自由度が2なので (1/2)kt×2 と書かれていると思います。
 こんなところを参考に。
http://science.shinshu-u.ac.jp/~tiiyama/?page_id …
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
再び言葉が足らずごめんなさい。
自由度が2なので(1/2)kt×2とすぐ書くのではなく、参考書ではなぜか相対運動エネルギーを(3/2)ktと算出して、その後振動を無視して…と続き、自由度が2なので(1/2)kt×2としています。
相対運動エネルギーを算出した意味は特にないのですか?

お礼日時:2016/08/20 16:51

その参考書全体を見ているわけではなく、質問者さんもどれだけ正確に「参考書の記述」を再現しているのか分からないので、考え違いしているのかもしれませんが、少なくとも「質問文」から判断する限りでは、



(1)二原子分子理想気体の運動エネルギーは重心の運動エネルギーと相対速度の運動エネルギーの和

(2)相対運動についてを分子の振動を無視すると回転方向が2つ

(3)二原子分子の平均エネルギーは3つの自由度を持つ運動エネルギーと2方向の自由度を持つ回転エネルギーの和

  ↓
ということで、「二原子分子理想気体の運動エネルギーは、3つの自由度を持つ重心の運動エネルギーと、相対運動として2方向の自由度を持つ回転の運動エネルギーの和」ということでしょう。
 何で、そこにまた「相対運動エネルギーを足して」が出てくるのですか?

>そうだとすると振動の分のエネルギーはどこへ消えたのでしょうか?

(2)で「分子の振動を無視すると」と書いてあります。つまり「無視」です。


 参考書の文章そのものが分からないので何とも言えませんが、質問者さんは、ひょっとすると「物理」以前に「国語」の勉強をした方がよいのかもしれません。新聞や本はよく読んでいますか? ご自分で文章を書くことは多いですか?
 もし参考書の文章が稚拙であることが理由のご質問なら、この最後の文章はごめんなさい。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!仰る通り新聞や本はなかなか読んでません。反省いたします。
相対運動エネルギーはなぜ最初に算出したのかがわかりません。
自由度が2なら(1/2)kt×2という訳では無いのですか?

お礼日時:2016/08/20 15:49

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Q2原子、3原子分子の自由度について

2原子、3原子分子に対して回転運動・振動運動のそれぞれの自由度はいくらになりますか?
調べれば調べるほど、
2原子分子については回転3振動0だったり、回転2振動1だったりします。3原子分子でも回転3振動3だったり、回転2振動4だったりします。
正しい答えが知りたいので説明お願いします。(>_<)

Aベストアンサー

1つの原子はx、y、zの3方向に動けるから自由度3を持ちます(斜めはこれらの組み合わせで表される)。
原子が2つになると、動きとしては3×3=9とか、±を考えてもっとたくさんありそうに思えますが、実際に意味のあるものはx1に対して±x2、y1に対してy2±、z1に対して±z2の6つです。
他の動きはこれらの組み合わせで表せます。
一般的に、N個の原子の自由度の合計は3Nになります。
N原子分子はN個の原子の集まりなので、自由度は3Nです。

そのうち、すべての原子、つまり分子全体がx、y、zの3方向のうちいずれかの方向に一斉に動く運動というものが考えられますが、これは並進運動と呼ばれるものです。
分子によって特定の方向の並進運動ができないということはありません。
したがって、どんな分子でも並進運動の自由度は3になります。

次に、原子の動き方によっては、分子全体が回転するようなことが考えられます。
回転の方向としては、xy平面(z軸中心の回転)、yz平面(x軸中心の回転)、zx平面(y軸中心の回転)の3種類が考えられます。
ただし、直線分子に関しては注意が必要で、分子の軸を中心とした回転は、原子の位置が全く変化していないので、動いていないのと同じということになります。
そういうわけで、回転の自由度は3(直線分子では2)ということになります。

残りはすべて振動の自由度になるため、振動の自由度は3N-6(直線分子では3N-5)となります。

したがって、回答としては、
2原子分子(必ず直線)では 回転2振動1
3原子分子では 回転3振動3(非直線分子)または回転2振動4(直線分子)
となります。

1つの原子はx、y、zの3方向に動けるから自由度3を持ちます(斜めはこれらの組み合わせで表される)。
原子が2つになると、動きとしては3×3=9とか、±を考えてもっとたくさんありそうに思えますが、実際に意味のあるものはx1に対して±x2、y1に対してy2±、z1に対して±z2の6つです。
他の動きはこれらの組み合わせで表せます。
一般的に、N個の原子の自由度の合計は3Nになります。
N原子分子はN個の原子の集まりなので、自由度は3Nです。

そのうち、すべての原子、つまり分子全体がx、y、zの...続きを読む

Q気体分子運動論 2原子分子 3原子分子 なぜ振動は

こんにちは、気体の分子運動論について確認させてください。また質問をさせてください。どうぞ宜しくお願いします。

気体の運動エネルギーを考える際、
単原子分子の場合、内部エネルギーの変化 ΔU = 3/2 nRΔT
となりますが、この3の意味は単原子分子のとる自由度の数だと教わりました。
そしてその自由度とは、XYZ方向への並進運動とのことですね。

二原子分子の場合、これら3自由度の並進運動に加え、回転の自由度を加えるとのことでした。
回転は、二原子分子の線分をたとえば、z軸にそろえて載せた場合、X軸を回転軸とする回転、Y軸を回転軸とする回転の二つが加えられる。したがって、合計5の自由度があり、ΔU = 5/2 nRΔT
となる。

Q1: もうひとつZ軸を軸とした回転(つまり鉛筆を両方の掌ではさんで回すような回転)については、他の二回転に比べて運動エネルギーが小さいため考えない、と理解しているのですが、いかがでしょうか。

Q2:並進、回転運動の他にも、自由度として振動が考えられますが、なぜこれは加えないのでしょうか。

また、三原子分子の場合は、二通りあり、直線分子の場合、非直線分子の場合に分けられると知りました。ただ、三原子分子の場合の内部自由エネルギー変化についての式が与えられておらず、考えてみました。
Q3: 直線分子の場合、二原子分子と同じ考えで、並進、回転運動の自由度の合計は5となりそうですが、どうでしょうか。ただ、ここでも振動をどう扱うのか分かりません。振動の自由同は、三原子直線型分子の場合、4つあるようですが、これらの振動は考慮しなくて良いのでしょうか。

Q4: 非直線分子の場合、回転の自由度は一つ増えて合計3になるそうですが、これは、先程、二原子分子の際に考慮に入れなかった回転、Z軸を回転軸とする回転、が無視できなくなった、ということでしょうか。すると、ΔU = 6/2 nRΔT となりそうですが、いかがでしょうか。

また、しつこいようですみませんが、振動はどうなのでしょうか。非直線分子の場合、振動の自由度は3あるそうですが、このことは内部エネルギー変化を考える場合に考慮に入れる必要はないのでしょうか?

以上となるのですが、私の理解があっているかどうかも含め、是非質問に回答頂ければ幸いです。どうか宜しくお願いします。

分かり難い記述があるようでしたら、訂正いたしますゆえ、どうか重ねて宜しくお願いします。

こんにちは、気体の分子運動論について確認させてください。また質問をさせてください。どうぞ宜しくお願いします。

気体の運動エネルギーを考える際、
単原子分子の場合、内部エネルギーの変化 ΔU = 3/2 nRΔT
となりますが、この3の意味は単原子分子のとる自由度の数だと教わりました。
そしてその自由度とは、XYZ方向への並進運動とのことですね。

二原子分子の場合、これら3自由度の並進運動に加え、回転の自由度を加えるとのことでした。
回転は、二原子分子の線分をたとえば、z軸にそろえて載せた場合、X軸...続きを読む

Aベストアンサー

>振動は含めないと言うことは、考慮すべきは並進運動と回転運動ですが、並進運動
>は常にXYZの三つ、回転については直線型分子だと2、屈曲した分子ならば3と、「常
>に」考えてもよいでしょうか。
>
>『Q4:これも、ご推察のとおりです。3個以上の原子からなる"剛体"としての
>分子の場合、古典物理学的には自由度は最大6なのですね。』
>ということは、この考えは正しいかと存じますが、いかがでしょうか。
>例えば、4原子分子の場合でも、直線ならば回転は2、屈曲ならば3でしょうか。
>
>複雑な形をした分子、例えば、人間のように四肢があるような形をした分子の場合、
>右手だけの回転、左足だけの回転、など複雑な回転機構が考えられそうですが、剛
>体と考えるならば、このような回転の自由度は考慮しなくてよさそうですが、いか
>がでしょうか。

 はい、そのとおりです。
 3原子分子以上の多原子分子でも、直線状の分子なら、回転の自由度は2、それ以外の形状なら回転の自由度は3となります。どんなに複雑な形状を持つ分子の場合でも、剛体なら、回転の自由度は2または3となります。これは、次のように説明されます。
 多数の粒子が、互いの相対的な位置関係を崩さないで、まとまり(粒子系)を作っているとします。つまり"剛体"を、極く小さな構成粒子の集団と見なしてしまおうということですね。
 任意の座標系を用意して、粒子系の全ての粒子の座標を確定するには、何種類の情報が必要なのかを数え上げたのが、自由度と呼ばれる数値です。
 そのうち、特に、粒子系の中の任意の1つ(Pとしましょう)に固定した座標系(Pは座標の原点に在るものとします)を考え、物体系が任意の回転をしたとき、他のすべての粒子(Qi)の位置を表そうとすれば一体いくつの情報量が有れば済むのかを数え上げたものを、回転の自由度と呼ぶのです。剛体の回転を考える時には、粒子間の相対的な位置が確定しています(互いの相対的な距離は変わりません)から、必要な情報は、Qiが、Pから見て、x軸周りにθ、y軸周りにφ、z軸周りにδ回転した、という情報だけです。
 たとえば、地球から見ると、各星座は一斉に同じ方向に日周・年周運動しているように見えます。これは、地球と星座を作っている恒星とが、相対的な位置関係を保ったままになっているので、或る天体(地球)から見て、任意の恒星(ペテルギウス)の回転さえ知ることができれば、他の任意の恒星位置が確定されるのと同じことです。
 つまり、θ,φ,δの3つの情報を知ることができれば、全てのQiの、Pに対する相対的な位置を確定できるわけです。このことを、回転の自由度が3であるというのです。
 ただし、物質系の粒子の位置関係によっては、θ,φ,δのどれかが何°であっても位置関係確定には影響しないこともあります。たとえば、x軸上に全ての粒子が配置されているとき、x軸周りの回転角度θがいくつかという情報は価値がありません。無意味ですね。このような場合は、回転の自由度がθの分だけ、1つ減ることになります。しかし、多粒子系なら、2方向の軸周りの回転情報が同時に無意味になることはありえません(x軸上とy軸上の2つの軸方向にすべての粒子が並ぶというようなことはあり得ません)から、剛体の回転の自由度は最低でも2、最大でも3なのです。

>振動は含めないと言うことは、考慮すべきは並進運動と回転運動ですが、並進運動
>は常にXYZの三つ、回転については直線型分子だと2、屈曲した分子ならば3と、「常
>に」考えてもよいでしょうか。
>
>『Q4:これも、ご推察のとおりです。3個以上の原子からなる"剛体"としての
>分子の場合、古典物理学的には自由度は最大6なのですね。』
>ということは、この考えは正しいかと存じますが、いかがでしょうか。
>例えば、4原子分子の場合でも、直線ならば回転は2、屈曲ならば3でしょうか。
>
>複雑な形をした分...続きを読む


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