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∫{(g(x)+h(x)}dx = ∫g(x)dx + ∫h(x)dx は必ずなりたつ?

高校数学の範囲としてお聞きします。

∫{(g(x)+h(x)}dx = ∫g(x)dx + ∫h(x)dx は必ずなりたちますか?

また、その理由もお教えください。(なんとなく感覚的には成り立つように思えるのですが、実感(というか理解)できてないです)

以上、お手数をおかけして恐縮ではございますが、よろしくお願い申し上げます。

質問者からの補足コメント

  • ご回答ありがとうございます。

    >右から左へは行けるが, 左から右へ行けない
    というのがどういう意味かわからないので、お教えいただけないでしょうか?

    以上、お手数をおかけして恐縮ではございますが、よろしくお願い申し上げます。

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2016/08/31 22:00

A 回答 (4件)

文字通りの意味ですけれど.


左から右へ行こうとしても, g(x) と h(x) に関して, 有界性すら保証されていないわけですよね.
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右から左へは行けるが, 左から右へ行けない例として, 以下の式がよく挙げられます.


log(AB) = logA + logB

∫{g(x) + h(x)}dx = ∫g(x)dx + ∫h(x)dx も, 同じような例です.
この回答への補足あり
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積分の定義に立ち返って考えてみてください。



教科書には、「定積分」の定義として、x=a ~ b で、曲線 f(x) と x 軸とに挟まれた部分の面積を、微小区間 Δx で短冊状に区切って

 Sf = f(x1)Δx + f(x2)Δx + f(x3)Δx + · · · + f(xn)Δx
 ただし、a=x0, b=xn, Δx=(b-a)/n, xi=a+iΔx

として、n→∞、つまり Δx→0 の極限を「定積分」としていますね。
http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=6463&PHP …

この定義に従えば、

 f(x) = g(x) + h(x)

のとき、x=a ~ b で、曲線 f(x) と x 軸とに挟まれた部分の面積は、各 x に対して
 f(x1) = g(x1) + h(x1)
 f(x2) = g(x2) + h(x2)
 ・・・
 f(xn) = g(xn) + h(xn)
と書けるので、

 Sf = f(x1)Δx + f(x2)Δx + f(x3)Δx + · · · + f(xn)Δx
   = [g(x1) + h(x1)]Δx + [g(x2) + h(x2)]Δx + ・・・ + [g(xn) + h(xn)]Δx
   = [g(x1) + g(x2) + ・・・ + g(xn)]Δx + [h(x1) + h(x2) + ・・・ + h(xn)]Δx

より
 Sg = g(x1)Δx + g(x2)Δx + g(x3)Δx + · · · + g(xn)Δx
 Sh = h(x1)Δx + h(x2)Δx + h(x3)Δx + · · · + h(xn)Δx
と書けば

 Sf = Sg + Sh

となることが分かります。

 これを n→∞、つまり Δx→0 とすれば

  ∫[a~b]f(x)dx = ∫[a~b]{(g(x) + h(x)}dx = ∫[a~b]g(x)dx + ∫[a~b]h(x)dx

が成り立つことがわかります。

 高校数学では、不定積分は「原始関数を微分したもの」の積分として定義しているのですっきりしませんが、上記の「定積分」から考えれば、少なくとも「実感」はできるのではないでしょうか。
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成り立ちます。



高校数学では、積分は、微分の逆の操作という定義になっています。

なんで、
∫{(g(x)+h(x)}dx = ∫g(x)dx + ∫h(x)dx
が成り立つことを確かめたければ、上の式の左辺を微分したものと、右辺を微分したものが等しいことを確認すれば良いです。
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