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①グラフが次のような放物線となる二次関数を求めよ。
(1)頂点が点(-1,3)で、点(1,7)を通る放物線
(2)軸が直線x=1で、2点(3,-6)(0,-3)を通る放物線

②グラフが3点(1,3)(2,5)(3,9)を通るような二次関数を求めよ。

自分で考えたのですがわからないのでわかる方お願いします汗

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A 回答 (4件)

一部尻切れトンボだったので


二次関数(放物線)だろうが、直線(一次関数)だろうが、円や楕円だろうが関係ない。
 二次関数の基本形は、y=x²。
 すべての二次関数は
  (y - a) = b(x - c)
 と表わせ。これはy方向にa,x方向にc、そしてy方向にb倍したもの

(1)頂点が点(-1,3)で、点(1,7)を通る放物線
 (y - 3) = b(x + 1)²が、(1,7)を通るので
 (7 - 3) = b(1 + 1)²
 4 = 4b
 1 = b
よって式は
 (y - 3) = 1(x + 1)²
なので整形して
 y = x² + 2x + 4

(2)軸が直線x=1で、2点(3,-6)(0,-3)を通る放物線
 (y - a) = b(x - 1) x方向に 1ずれている
 よって、代入すると
 (-6 - a) = b(3 - 1)  (3,-6)を通る
 (-3 - a) = b(0 - 1)  (0,-3)を通る
  が成り立つといっている。
 -6 - a = 2b
 -3 - a = -b
単純な連立方程式
  a + 2b = -6
  a - b = -3
吐き出し法で解く
  1  2 | -6  下を引く
  1 -1 | -3

  0  3 | -3  3で割る
  1 -1 | -3 

  0  1 | -1
  1 -1 | -3  上を加える

  0  1 | -1
  1  0 | -4

    b = -1
  a   = -4

(y - a) = b(x - 1)に代入
(y + 4) = -1(x - 1)
y + 4 = -x² + 2x + 1
整形して
y = -x² + 2x - 3
[検算]
 微分して、y' = -2x + 2 = 0、→ x = 1
2点(3,-6)(0,-3)
 -6 = -(3)² + 2(3) - 3
   = -9 + 6 - 3
 -3 = -(0)² + 2(0) - 3

必ず検算しようね。

②グラフが3点(1,3)(2,5)(3,9)を通るような二次関数を求めよ。
どっちでもよいが
y = ax² + bx + c として、x,yに代入して三つの連立方程式を解く
3 = a(1)² + b(1) + c
5 = a(2)² + b(2) + c
9 = a(3)² + b(3) + c

  a + b + c = 3
 4a + 2b + c = 5
 9a + 3b + c = 9
ここからは自分でね
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二次関数(放物線)だろうが、直線(一次関数)だろうが、円や楕円だろうが関係ない。


 二次関数の基本形は、y=x²。
 すべての二次関数は
  (y - a) = b(x - c)
 と表わせ。これはy方向にa,x方向にc、そしてy方向にb倍したもの

(1)頂点が点(-1,3)で、点(1,7)を通る放物線
 (y - 3) = b(x + 1)²が、(1,7)を通るので
 (7 - 3) = b(1 + 1)²
 4 = 4b
 1 = b

(2)軸が直線x=1で、2点(3,-6)(0,-3)を通る放物線
 (y - a) = b(x - 1) x方向に 1ずれている
 よって、代入すると
 (-6 - a) = b(3 - 1)  (3,-6)を通る
 (-3 - a) = b(0 - 1)  (0,-3)を通る
  が成り立つといっている。
 -6 - a = 2b
 -3 - a = -b
単純な連立方程式
  a + 2b = -6
  a - b = -3
吐き出し法で解く
  1  2 | -6  下を引く
  1 -1 | -3

  0  3 | -3  3で割る
  1 -1 | -3 

  0  1 | -1
  1 -1 | -3  上を加える

  0  1 | -1
  1  0 | -4

    b = -1
  a   = -4

(y - a) = b(x - 1)に代入
(y + 4) = -1(x - 1)
y + 4 = -x² + 2x + 1
整形して
y = -x² + 2x - 3
[検算]
 微分して、y' = -2x + 2 = 0、→ x = 1
2点(3,-6)(0,-3)
 -6 = -(3)² + 2(3) - 3
   = -9 + 6 - 3
 -3 = -(0)² + 2(0) - 3

必ず検算しようね。

②グラフが3点(1,3)(2,5)(3,9)を通るような二次関数を求めよ。
どっちでもよいが
y = ax² + bx + c として、x,yに代入して三つの連立方程式を解く
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①は、放物線の「頂点」「軸」がどのようなもので、二次関数の何に対応するのかを理解しているかどうかを問うている問題です。

問題を解く以前に、「放物線の性質」を復習した方がよいです。

①(1) および ②で、「この点を通る」というのは、係数未定の一般式を作って、その点の座標を入力して係数を確定する、という泥臭い作業をすれば求まります。それ以外の方法はありません。

考えても、知らなければ解けない、そして手を使わなければ解けない問題です。
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(1)頂点と書いてあるので、頂点の公式を使う。

y=a(x-b)^2+c
頂点が(-1,3)ということは、この時、(x-b)=0となるので、b=-1、c=3と分かる。
あとは、y=a(x+1)^2+3に(1,7)を入れて計算すればよい。よってa=1
y=(x+1)^2+3 → y=x^2+2x+4
(2)こちらは単純に、y=ax^2+bx+cにそれぞれの点の数値を入れて計算する。3つの式ができる。
P: 3=a+b+c
Q: 5=4a+2b+c
R: 9=9a+3b+c
これを解くとa=1, b=-1, c=3 となります。
y=x^2-x+3
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