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(1) 不等式2log[9](3-2x)+log[3](2-x)≦2(1+log[3]2)を
満たすxの値の範囲は【?】と表すことが出来て、α=?、β=? である。
(2)xの範囲が(1)で求めた範囲であるとき、関数y=(1/4)^x-2^(-x+2)+8は
x=?のとき最小値?、x=?のとき最大値?をとる。

底のそろえ方や真数条件などさっぱり分かりません。

一応解答は
(1) 不等式2log[9](3-2x)+log[3](2-x)≦2(1+log[3]2)を
満たすxの値の範囲は【α≦x<β】と表すことが出来て、α=-5/2、β=3/2 である。

(2)xの範囲が(1)で求めた範囲であるとき、関数y=(1/4)^x-2^(-x+2)+8は
x=-1のとき最小値4、x=-5/2のとき最大値40-16√2をとる。

です。

詳しくお願いします!!

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A 回答 (2件)

>底のそろえ方や真数条件などさっぱり分かりません。



それでは下記の説明もチンプンカンプンでしょう。
「対数」の基本を復習することが先決ですね。
(対数という「表記方法」に惑わされずに、下記のように定義にかえってその意味を考えれば理解できるはず)

(1)対数は、 [a] を「底」を表わすものとして
 y = log[a](x)

 x = a^y
ということですから、
 x > 0
でないと定義できません。これが「真数条件」です。

与えられた不等式においては、真数条件は
 3 - 2x > 0
 2 - x > 0
ということです。
これより、xは上記の2式を同時に満たさないといけないので
 x < 3/2     ①

さらに、この不等式の log[9]A と log[3]B とは直接足し算ができません。
対数の定義に戻って
 log[9](3-2x) = Y
とおけば
 3 - 2x = 9^Y = (3^2)^Y = 3^2Y
ここで
 2Y = Z
とおけば
 3 - 2x = 3^Z
これを再度対数にすれば
 log[3](3 - 2x) = Z
ということです。Z = 2Y なので
 Y = (1/2)Z = (1/2)log[3](3 - 2x)

これは、ふつう底の変更の「公式」で、
 log[9](3-2x) = {log[3](3-2x)} / {log[3](9)} = {log[3](3-2x)} / 2
と計算してしまいますが、やっているのは上に書いたようなことです。

これにより、不等式の左辺は、同じ底の対数として計算できて
 2log[9](3 - 2x) + log[3](2 - x)
= 2{(1/2)log[3](3 - 2x)} + log[3](2 - x)  ←上の Y
= log[3](3 - 2x) + log[3](2 - x)
= log[3](3 - 2x)(2 - x)  ←対数の足し算は、中に入れて真数のかけ算
= log[3](6 - 7x + 2x^2)   ②

一方、不等式の右辺は
 2(1+log[3]2)
= 2(log[3]3+log[3]2)   ←log[3]3 = 1 なので
= 2log[3](3 × 2)   ←対数の足し算は、中に入れて真数のかけ算
= 2log[3](6)
= log[3](36)    ③

②③から、与えられた不等式は
 log[3](6 - 7x + 2x^2) ≦ log[3](36)
となり、底が同じなので真数同士の
 6 - 7x + 2x^2 ≦ 36
と等価になります。

これを解けば
 2x^2 - 7x - 30 ≦ 0
 (2x + 5)(x - 6) ≦ 0
より
 -5/2 ≦ x ≦ 6

真数条件①があるので、
 -5/2 ≦ x < 3/2
ということになります。


(2)は、まず関数の形を簡素化して

 y = (1/4)^x - 2^(-x+2) + 8
  = 2^(-2x) - 2^(-x+2) + 8
  = [2^(-x)]^2 - 4*2^(-x) + 8

ここで z = 2^(-x) とおくと
 y = z^2 - 4z + 8
  = (z - 2)^2 + 4   ④
となります。

(1)より -5/2 ≦ x < 3/2 なので、これを z にあてはめると
  2^(-3/2) < z ≦ 2^(5/2)
つまり
  √2/4 < z ≦ 4√2
となり、④の放物線の形より
 z=2 のとき最小値 y=4
 z=4√2 のとき最大値
   y=(4√2 - 2)^2 + 4
   = 32 - 16√2 + 4 + 4
   = 40 - 16√2
となることが分かります。

 z=2 のとき 2 = 2^(-x) より x=-1
 z=2^(5/2) のとき 2^(5/2) = 2^(-x) より x=-5/2
なので
 x=-1 のとき最小値 y = 4
 x=-5/2 のとき最大値 y = 40 - 16√2
ということになります。
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(1)2log[9](3-2x)+log[3](2-x)≦2(1+log[3]2)



3-2x>0,2-x>0
3/2>x,2>x・・・①

2{log[3](3-2x)/log[3](9)}+log[3](2-x)≦2(1+log[3]2)
2{log[3](3-2x)/2}+log[3](2-x)≦2(1+log[3]2)
log[3](3-2x)+log[3](2-x)≦2(1+log[3]2)
log[3](3-2x)+log[3](2-x)≦2(log[3]3+log[3]2)
log[3](3-2x)+log[3](2-x)≦2(log[3]6)
log[3](3-2x)+log[3](2-x)≦(log[3]36)
log[3](3-2x)(2-x)≦(log[3]36)

(3-2x)(2-x)≦36
2x^2-7x-30≦0
(2x+5)(x-6)≦0

-5/2≦x≦6・・・②

①・②より

-5/2≦x<3/2


(2)
y=(1/4)^x-2^(-x+2)+8
=(2^-2)^x-2^(-x+2)+8
=(2)^-2(x)-2^(-x+2)+8
=(2)^-2(x)-4×2^(-x)+8
2^-x=nとすると
=(n-2)^2+4

-5/2≦x<3/2より

n=2の時最小値4
2^-x=2
x=-1

x=-1時最小値4

-5/2≦x<3/2より
2√2<n≦4√2

n=4√2(x=-5/2)の時最大値

(4√2-2)^2+4=40-16√2



x=-1の時最小値4
x=-5/2の時最大値40-16√2
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