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角運動量とK.E.変化について





半径rで糸に繋がれ円運動している物体mを糸を引いて半径r'(<r)になったとき速度は角運動量保存則により速くなるのはわかるのですが
糸を引く力は物体の速度方向と常に垂直に働くにもかかわらず物体の運動エネルギーが増加しているのがしっくりこないのですがなぜ増加するのか教えてください

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A 回答 (5件)

No.1&3です。

各々のエネルギーを計算してみましょう。

物体の質量を m として、当初の円運動の半径を R1 、角速度を ω1 とします。
その運動エネルギーは
 E1 = (1/2)m*R1^2*ω1^2   ①

糸を引いて半径を R2 にしたときの角速度を ω2 とすると、その運動エネルギーは
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2   ②

角運動量が保存されれば
 L = m*R1^2*ω1 = m*R2^2*ω2 =const
より
 ω2 = (R1/R2)^2 *ω1   ③

よって②は、③を使って
 E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2
   = (1/2)m*R2^2*[ (R1/R2)^2 *ω1 ]^2
   = (1/2)m*(R1^4/R2^2) *ω1^2
   = E1 * (R1^2/R2^2)   ④
となることが分かります。(半径が 1/2 になれば、運動エネルギーは 4 倍になります)

一方、回転半径が r のときの遠心力は、外向きに
 F = m*r*ω^2
であり、角運動量が一定なら L=m*r^2*ω=const より
 ω = L/(m*r^2)
なので、遠心力は
 F = L^2/(m*r^3)
と書けます。

この遠心力に逆らって、半径方向に微小変位 dr 分だけ移動するのに要する仕事は、(力)×(変位)なので
 dW = -F*dr = -[ L^2/(m*r^3) ]dr

従って、半径 R1 から R2 に変化させるのに必要な仕事の総量は
 W = ∫[R1→R2][ -L^2/(m*r^3) ]dr
   = L^2/(2m)[ 1/r^2 ][R1→R2]
   = L^2[ 1/R2^2 - 1/R1^2 ] /(2m)
   = (1/2)L^2*(R1^2 - R2^2)/[ m(R1^2 * R2^2) ]

ここに L=m*R1^2*ω1 を代入すれば
 W = (1/2)m*R1^2*ω1^2*(R1^2 - R2^2)/R2^2
   = E1 * (R1^2 - R2^2)/R2^2          ⑤
ということになります。
 半径を 1/2 にするには、当初の運動エネルギーの 3 倍のエネルギーに相当する仕事をしなければいけないことになります。

①④より、運動エネルギーの差は
 E2 - E1
= E1 * (R1^2/R2^2) - E1
= E1 * (R1^2 - R2^2)/R2^2
ですから、⑤に一致することが分かります。

以上より、当初の半径を R1 の回転運動の運動エネルギーに対して、半径 R2 の回転運動の運動エネルギーは、半径を R1 から R2 に変化させるのに外から加えた仕事分だけ大きくなっていることが分かります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2016/09/23 16:10

>糸を引く力は物体の速度方向と常に垂直に働くにもかかわらず



ここが間違ってます。垂直にはなりません。

糸を引いた場合は、物体はらせんを描いて中心に近づきますが
この時の物体のコース(軌跡)と糸の方向は垂直ではありません。

絵を描けばすぐにわかります。
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No.1です。



「増加はしていません」というのは、間違いですね。
半径を小さくするために、重りを「遠心力に逆らって、半径の差」だけ移動するために加えた「仕事」分だけ運動エネルギーは増加します。

この加えた「仕事」分を考慮すれば、トータルの「力学的エネルギー」は増加していない、ということです。
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等速円運動では、力は常に回転の中心方向に働いています(向心力)。


(ちなみに、物体の加速度も中心方向です)

向心力の方向(中心向き)に動かす(変位をつくる)と、
→仕事=向心力×変位
を与えるため、運動エネルギーが増加します。

(実際には、半径方向で向心力が変化するため、積分が必要)
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2016/09/21 21:57

>物体の運動エネルギーが増加しているのがしっくりこない



そうですよ。増加はしていません。

 回転運動の運動エネルギーは、慣性モーメントを I として
  E = (1/2)Iω²
です。
 半径が小さくなって「角速度 ω」は大きくなりますが、回転半径が小さくなるので「慣性モーメント I 」は小さくなります。

 通常の
  E = (1/2)mv²
を使って運動エネルギーを計算する場合には、回転運動の半径を r として
  v = rω
より
  E = (1/2)mr²ω²
です。「角速度 ω」は大きくなりますが、「回転運動の半径: r 」は小さくなりますよね。
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Aベストアンサー

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宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

 
 
>> 物体は1秒間にVm進み、気体のほうは1秒間に1/2Vm進む、つまり物体に追い越される。「物体が気体を追い越しながら気体を押す」という点が理解し難い。 <<

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http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=908588
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901153

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>> 物体は1秒間にVm進み、気体のほうは1秒間に1/2Vm進む、つまり物体に追い越される。「物体が気体を追い越しながら気体を押す」という点が理解し難い。 <<

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 基本式は、Q=UAΔtです。
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 A:伝熱面積
Δt:伝熱面内外の温度差
  (冷却水入出の差ではない)

 ここで曲者は、U(総括伝熱係数とか熱貫流係数とか呼ばれるもの)です。
 Uの内部構造は、1/U=1/h1+1/hs1+L/kav.+1/hs2+1/h2と表現され、hを見積もる事が大変難しいのです。
 h:伝熱面の境膜伝熱係数、内外2種類有る。
 hs:伝熱面の汚れ係数、内外2種類有る。
 L:伝熱面厚み
 kav:伝熱面の熱伝導率の異種温度の平均、熱伝面内外で温度が異なり、温度によって変化する熱伝導率を平均して用いる。
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 まあしかし、現場的な検討としては#1の方もおっしゃっているように、各種条件で運転した時のU値を算出しておけば、能力を推し測る事が出来ると思います。
 更には、熱交換機を設備改造せずに能力余裕を持たせるには、冷却水の温度を下げるか、流量を増やすか、くらいしか無いのではないでしょうか。

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状況としては、等速で回転する円板上に小物体が載っていて、その小物体が円板の回転とともに等速円運動していることを考えているのですよね?

そのためには、基本的なことを確認しておく必要があります。
まずは摩擦力の方向についてです。摩擦力の方向は、動摩擦力なら物体が動く方向と逆方向に、静止摩擦力なら動こうとする方向と逆方向に働きます。

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