外積ってビジュアル的にも量的にも分かりやすいですよね。
a×bは
1)aともbとも直交する
2)a,b,a×bは右手系をなす
3)長さはaとbの張る平行四辺形の面積に等しい
とってもシンプルで親しみやすい。

一方内積はというと
a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3)
とすると
(a,b)= a1*b1 + a2*b2 + a3*b3
だとか、aとbの交角をθとして
(a,b) = |a||b|cosθ
だとか、数式ばかりが並んでビジュアル的につかみにくい。

これはしょうがないんですかね?
外積はビジュアル的、内積は数式的って納得するしかないのでしょうか?

A 回答 (3件)

ビジュアル的に言うなら,(a,b)は,


(ベクトルaのベクトルb方向への正射影の長さ)×(ベクトルbの長さ)
というより仕方がないんじゃないでしょうか.
上の表現でaとbを入れ換えても同じことです
図で描くなら

       /│
      / │
    a/  │
    /   │
   /    │
  /     │  b
 A━━━━━━B───
   
で,ABがベクトルaのベクトルb方向への正射影です.

brogie さんの例なら
(仕事)=(力Fの大きさ)×(動いた長さsのF方向成分)
   =(力Fのs方向の成分)×(動いた長さs)
ですね.

taropoo さんはこんなことは当然ご存知でしょうから,
回答になっているかどうか分かりませんが,
ビジュアル的というとこれくらいしか思いつきません.

この回答への補足

(お礼の後に書いてます。)
brogieさんの例が新鮮に感じられて感覚的に分かった気になりましたが
数学でのa,bをいちいち力と動いた長さに置き換えて内積を捉えるのもちょっと無理があるかなーと思い始めました。

siegmundさんに
> ビジュアル的というとこれくらいしか思いつきません.
と太鼓判を押していただけると、内積をビジュアル的に感じ様としてもせいぜいこれくらいなんだなと諦めがつきます。
ありがとうございました。

補足日時:2001/06/23 18:17
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この回答へのお礼

> (ベクトルaのベクトルb方向への正射影の長さ)×(ベクトルbの長さ)
当然考えましたが、これだといまいちビジュアル的じゃないのでaをπ/2回転させてa'としてa'とbの張る平行四辺形の面積とかこじつけてましたが、やっぱりシンプル性に欠けていて悩んでいました。
正射影をπ/2起こして長方形の面積とか。
今一感性に訴えてこないんですよね。

> taropoo さんはこんなことは当然ご存知でしょうから,
そこが。もちろん知ってはいましたが内積と結びついていなかったんですよ。
いや、以前は知っていたけど最近物理に触れたことがなかったので
忘れてしまっていたのかもしれません。

お礼日時:2001/06/23 18:03

内積は


物体に力Fでsだけ移動したら、その内積を作り

仕事W = F・s = Fscosθ

外積は

力のモーメントM = Fxs  

このように、物理関係では非常によく使われます。
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この回答へのお礼

なるほど、言われてみれば確かにそうですね。

そうするとベクトル「a,bの共同作業の効果」みたいなビジュアル的な意味合いがつけられそうですね。

とても参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/23 17:49

余弦定理より


AB^2=OA^2+OB^2-2OA・OBcosθ
これに対応するベクトルa,bに対して、
|a-b|^2=|a|^2+|b|^2-2a・b


この2つの等式が同じであれば後々計算面で楽になるから、
a・b=OA・OBcosθ
としてしまおうよ、というのが私の考えですが・・・

この回答への補足

それに該当するのが行列式でしょう。

つまりa=(a,c),b=(b,d)(横に書いていますが縦行列だと思ってください。)
として行列Aを
(a b)
(c d)
とした時のAの行列式は
|A| = det(a,b)= |ad - bc| = |a||b|cosθ

これだと確かにa,bの張る平行四辺形の面積と言うビジュアルな意味合いが出てきますが、
今は内積の話をしているので。

補足日時:2001/06/23 17:37
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この回答へのお礼

僕、質問の中でミスしてますね。
> (a,b) = |a||b|cosθ

> (a,b) = |a||b|sinθ
の間違いでした。

訂正してお詫び申し上げます。

お礼日時:2001/06/23 18:10

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(|a+xb|-|a|)/x
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=(|a+xb|^2-|a|^2)/(x(|a+xb|+|a|))
=(|a|^2+2x(a・b)+x^2|b|^2-|a|^2)/(x(|a+xb|+|a|))
=(2(a・b)+x)/(|a+xb|+|a|)
=(2√2+x)/(|a+xb|+2)

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|B  A|
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|A+B  B|
|B+A  A|
となります。更に、
第 k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 n+k 列から引くと、
|A+B  B|
|O  A-B|
です。

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|A+B||A-B|
になることは、Σ を使った行列式の表示
(http://www.snap-tck.com/room04/c01/matrix/matrix08.html
のような…)に、
左下の 0 となる成分を代入してみれば、確認できます。

Q不等式 |a-b|<(1/2)|b| ならば |a|>(1/2)|b| (a,b:複素数) の証明

解析の本で
ある複素数列がある複素数に収束するとき
その逆数の数列が収束値の逆数に収束する証明で使われています。
なんか自明のように使われていました。

虫のいいお願いですが、
複素平面を利用した幾何的な証明と
代数的な(式による)証明と
いただけるとうれしいです。

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幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
=(a1b2-a2b1)^2≧0
なので、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2≧0

∴|a-b|≧|b|-|a|



なお、|a||b|-(a1b1+a2b2)≧0 は、
内積 a・b=a1b1+a2a2=|a||b|cosθ≦|a||b|
からでも証明可能です。

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|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
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となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


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(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
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絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
   これを解いて、 x<(a1b2-a2b1)/(b2-b1) ・・・(1)
   ここで a1 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると
   両方に(b2-b1)をかけた式で a1(b2-b1)-(a1b2-a2b1)=-a1b1+a2b1
   =b1(-a1+a2)>0 となるので a1>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となります
   したがって、ここでの解は(1)の解でよいことになります。
2.a1≦x<a2 のとき・・・x-a1は正、x-a2は負だから
   b2(x-a1)>-b1(x-a2)
   これを解いて、x>(a1b2+a2b1)/(b1+b2)
   ここで、1.のときと同様にして (a1b2+a2b1)/(b1+b2) とa1,a2
   との大小関係を考えると、省略しますが、
     a1<(a1b2+a2b1)/(b1+b2)<a2 となり、
   ここでの解は (a1b2+a2b1)/(b1+b2)<x<a2・・・(2)
3.a2≦x のとき・・・x-a1もx-a2も正だから
   b2(x-a1)>b1(x-a2)
   これを解いて x>(a1b2-a2b1)/(b2-b1)
   同様に a2 と (a1b2-a2b1)/(b2-b1) の大小関係を調べると、また
   省略しますが a2>(a1b2-a2b1)/(b2-b1) となり
   ここでの解は a2≦x・・・(3)

以上、(1)~(3)が解となります。
各場合について、数直線をかいて考えるといいでしょう。

絶対値があるので、x<a1 と a1≦x<a2 と a2≦x の3通りの場合分け
が必要です。0<b1<b2ですから、与式の両辺に b1b2 をかけておいて
 b2|(x-a1)|>b1|(x-a2)| と変形してからやるといいです。
考えとしては絶対値の外し方[x<0のときlxl=-x,0≦xのときlxl=x]を使い
ます。
1.x<a1 のとき・・・x-a1もx-a2も負になるからマイナスをつけてはずす
   -b2(x-a1)>-b1(x-a2) →両辺に-1をかけてb2(x-a1)<b1(x-a2)
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