システムメンテナンスのお知らせ

正規分布の計算方法について教えてください

例えば V=I*R の様な電圧=電流*抵抗値の公式があったとして、

I, Rそれぞれ違う単位に正規分布が存在したとします。
(正規分布の平均値、σは既知とする)

その二つの正規分布を掛け合わせた正規分布(V)はどの様に計算するのでしょうか?

自力で調べても同じ単位同士の正規分布の
積しか見つけられず困っています。

gooドクター

A 回答 (5件)

ANo.4です。

ちょんぼしてます。ヤコビアン入れるの忘れた。
  φ(V) = ∫γ(V/R,R) √(1+(V^2)/(R^4)) dR
だな。
    • good
    • 0

Rが抵抗値だと思うのは無理。

なぜなら正規分布の裾野は無限に広がっていて、平均値からいくら離れても確率密度は0にならないが、抵抗値は非負の値しか取らない。だから抵抗値は正規分布に従うことができない。
 そこで物理から離れて、ふたつの独立な確率変数I,Rの話だと考えましょ。
 Iの確率密度関数をα(I), Rの確率密度関数をβ(R)として、両者が独立であれば 対(I,R)の確率密度関数は
  γ(I,R) = α(I)β(R)
です。ここで、I,Rの関数f(I,R)が特定の値Vであるようなγ(I,R)を全部寄せ集めたのが、f(I,R)の確率密度関数φ(V)。ご質問の場合にはf(I,R)は積
  f(I,R) = IR
なので、
  I = V/R
だから、Vを定数だと思ってRについて積分すればよくて、
  φ(V)=∫ γ(V/R,R) dR (積分は-∞〜∞の定積分)
  = ∫ α(V/R)β(R) dR (積分は-∞〜∞の定積分)
となる。

(なお、ANo.1へのコメントにお書きの式は、fが和 f(I,R) = I+Rである場合の話であって
  I = V-R
だから
  φ(V)=∫ γ(V-R,R) dR = ∫ α(V-R)β(R) dR
が畳み込み積分になっている。さらにα,βがガウス関数の場合に限って右辺の積分はガウス関数になる。そういう訳で平均と分散だけでf(I,R)の分布が決まるんです。でも積IRは正規分布にならないので、確率密度関数φ(V)そのものを計算しなくちゃいけません。)

 α(I)とβ(R)にそれぞれ正規分布の確率密度関数を代入すれば、この右辺が具体的に書けるでしょう。しかし右辺を計算できるかというと、いやどうかな。そこで、まずはexcelかなんかで数値計算してみて、φ(V)がどんな感じなのか(I, Vそれぞれの平均や分散の違いによってどう姿を変えるか)を眺めてみてはいかがか。
    • good
    • 0

正しい回答はできませんが、



>私が見つけたといっていたのは、正規分布同市の積和の公式
>"√(σa^2 + σb^2)" の事です

 少なくともこれはないでしょう。「単位の違う正規分布」といっているので、分散(あるいは標準偏差)の単位が違うので、単純に平方和することはできませんから。
(2つのパラメータの「加減算」なら、単位が合っているはずなのでこれでよいと思いますが)

 いかなる場合にも当てはまるものではないと思いますが、「計測値」と「誤差」の関係と考えて、電流・抵抗の計測値は正規分布するとみなして、得られる「電圧」計算値の平均値と標準偏差が予測できます。一般にいう「誤差の伝播」です。
 正規分布する計測値どうしの「かけ算」「割り算」その他の計算内容に応じて、下記のような誤差になります。
↓ たとえばこちら。
http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa …

 ご質問の「かけ算」の場合には、電流、抵抗の平均値、標準偏差を
  Im, σi
  Rm, σr
とすると、
  V = I*R
となる積で得られるパラメータ V は、
  平均値:Vm = Im*Rm
  標準偏差:σv = √[ (Rm*σi)^2 + (Im *σr)^2 ]
の正規分布になります。
 これなら、標準偏差の単位はきちんと V = I*R に一致します。
    • good
    • 0

たしかに,


>「掛け合わせた」ら正規分布にはならん気がする
のですけれども,
 
平均値は,
電圧V,電流I,抵抗値R のそれぞれを m(V),m(I),m(R) と書くことにすると,

m(V)=m(I)*m(R)
で,いいでしょう。
(単位はボルト,アンペア,オームです)


標準偏差(の値)は (ふたつの正規分布の積(積和?)だから)
>"√(σa^2 + σb^2)" 
を,応用して,
平均値の場合と同様の書き表し方とすると,

σ(V)=√(σ(I)^2+σ(R)^2) 

で,いいのではありませんか?


と,まで書いたところで,Webを検索したら,見つけました。
http://okwave.jp/qa/q4597435.html

が参考になるかも……
    • good
    • 0

「掛け合わせた」ら正規分布にはならん気がするだが.



さておき, あなたが見つけたという「同じ単位同士の正規分布の積」の場合はどうなっていますか?
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

私が見つけたといっていたのは、正規分布同市の積和の公式
"√(σa^2 + σb^2)" の事です
見つけたというか、この公式しか出てこなかったという方が正しい言い方です。

お礼日時:2016/10/02 15:10

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


人気Q&Aランキング