数学です 積分についてです本当に基本的な事なのですが 左の積分がこのようになるのに 右の積分がこうは

数学です
積分についてです本当に基本的な事なのですが
左の積分がこのようになるのに
右の積分がこうはならないのは
なぜでしょうか？

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/10/09 18:26

提案ですが, もう一冊, もう少し出来のいい教科書を購入して, 基本を勉強しなおしたらどうでしょうか.

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2016/10/06 19:38

２行目の右側はですね、まー、これはあんまりなので無視させてもらうとして。

１行目の右側にある
　　ydy = xdx
というのは、高校数学の意味では（dxだのdyが単独では意味を持たないために）式になってないんです。けれども「微分方程式
　　dy/dx = x/y
を解くために『形式的に移項した』のだ」と解釈することができる。すなわち、式になってはいないけど、（左辺にはxがなく、右辺にはyがないように分離するんで）「変数分離法」と呼ばれる計算テクニックをやってる途中段階の「メモ」だと見ることはできる。
　その両辺に∫をくっつければ
　　∫ydy = ∫xdx
であり、両辺を計算すると
　　y^2 + C = x^2 + D (C,Dは定数）
整理すると
　　x^2-y^2 - R = 0 (Rは定数）
ということになります。これが上記の微分方程式を満たす関数f(x,y)=0だというわけ。
で、最後の式は、R>0の場合は双曲線の方程式です。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/10/06 11:49

「左」は「x と y は恒等的に等しい」からです。

「値が等しい」と考えてもよいし、そもそも「x と y とは同じもの」「名前が x と y だが、実は同一人物が変装しているだけ」ということです。
　だから、積分の中を入れ替えても同じ。

　「右」は、「d」に「2乗」が付いていますか？　（不鮮明で読みにくいですが）
　この「d の 2乗」は、通常そういう書き方はしません。どういう意味、定義で使おうとしていますか？
　あるとすれば「微小な dy を2回かけ合わせる」という意味ですが、それで直接積分するわけにはいきません。
　積分の dy, dx の意味は、もともと「微小部分：Δx、Δy」であって、「積分」はこの「微小部分：Δx、Δy の総和」の意味であることを思い出しましょう。

　「右」の上の式
　　　ydy = xdx
が意味するのは、
　　　dy/dx = x/y
ということです。こちらは恒等的に y=x ではありません。

　これを積分すれば
　　∫ydy = ∫xdx
より
　　y^2 = x^2 + C
という関係があるということです。（Cは任意の定数）

　これは
　　y = ±√(x^2 + C)
となって
　　dy/dx = [ ±(x^2 + C)^(1/2) ]'
　　　　　= ±(1/2)(x^2 + C)^(1/2 - 1) *2x
　　　　　= ± x / √(x^2 + C)
　　　　　= x/y
になりますよね。


　あとは、「右」の下の式では、右辺は積分の中に入っていませんよね？　書き間違い？　あるいはこれで正しい？
　「d の 2乗」の定義にもよりますが、少なくとも「左辺は積分、右辺は積分なし」ということだと、このような関係は一般的には成立しないでしょう。