曲線y=f(x)上にあるA(x,y)の接線とy軸の交点をBとした時、線分ABはx軸によって二等分される。上記の条件を満たし、(2,1)をとおる曲線求めよ、という問題について

上記の問題で解き方が腑に落ちず困っています。理解された方、教えていただきたいのですが、

回答では、Bはy軸の交点にあることから、x=0であるので、接点の方程式に代入すると、
y=y−xy'
となり、線分ABは二等分されるのでA,Bのy座標の絶対値は等しい、とありました。
しかし、その後の式で、
y−xy'=−y
とありましたが、上記右辺の−yはBのx=0をy−xy'へ代入したものであると考えているのですが、
なぜ接線の方程式にBのx=0を代入し、y座標y−xy'を求めた後、その後再びy−xy'へx=0を代入しているのでしょうか?

説明が長くて申し訳ないです。
みなさんにお力を貸していただければと思います。よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

あー、主さんは曲線上Aの座標(x、y)とAのところの接線の上の座標を混同していますね。


Aのところの接線の方程式はx、yとはちがうX、Yをつかわなくてはならない。
これを使うと、接線の方程式は、A(x、y)を通り、傾きy'の直線だから、
Y―y=y'(X―x)、これからBのy座標は左の式にX=0を入れて
Y=y―xy'・・・① と出てくる。
そして、このy切片Yは条件からAのy座標yと真反対だからY=―y、これを①に入れて
―y=y―xy'・・・②

この①②のことを解説の式は言っていますよ。
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この回答へのお礼

なるほど!確かにxが0ならBのyの座標はAの真反対でないと二等分されないですもんね。納得できました!ありがとうございます(^_^)

お礼日時:2016/10/22 09:04

質問者さんの説明なのか、解答例の記載なのか分かりませんが、変数の x, y と、その「特定の値」(たとえば点Aの座標)の区別がついていないので、「大混乱!」ですよ。

きちんと「頭」と「解答」を整理して書きましょう。

以下では、問題を

「曲線y=f(x)上にあるA(p, q)の接線とy軸の交点をBとした時、線分ABはx軸によって二等分される。上記の条件を満たし、(2,1)をとおる曲線求めよ」

として記載します。

曲線y=f(x)上のA(p, q)における接線の傾きは
 f'(p)
なので、接線の方程式は
 y = f'(p)*x + k     ①
と書けます。

(a) この①の y 軸との交点Bは、「接線の方程式①に x=0 を代入して」 (0, k) ということです。
  ←※「Bはy軸の交点にあることから、x=0であるので、接点の方程式に代入すると y=y−xy' となり」というのがこれ

(b) 題意より f'(p)≠0、k≠0 なので、①の x 軸との交点はCは、「接線の方程式①に y=0 を代入して」 ( -k/f'(p), 0) となります。

(c) CがAとBの中点であるためには、A~C,C~B間の x座標、y座標が
 q - 0 = 0 - k      ←※「線分ABは二等分されるのでA,Bのy座標の絶対値は等しい」というのがこれ
 p - [-k/f'(p) ] = -k/f'(p) - 0   ←※「その後の式で、y−xy'=−y とありました~」というのがこれかなあ?
であることが必要です。

 これから
  q = -k
  f'(p) = -2k/p = 2q/p
となりますので、①は
  y = (2q/p)*x - q     ②
となります。

これが(2, 1)を通るので
  1 = (2q/p)*2 - q = (4q/p) - q
よって、q ≠ -1 なので
  1 + q = 4q/p
  p = 4 / (1 + q)

②に代入して
  y = [ (1 + q)/2 ]*x - q     ③


 いずれにせよ、質問者さんの疑問は、(a)(b)(c) あたりのことを言っているのだと思います。少し頭と記号を整理して確認してみたらどうでしょうか。
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この回答へのお礼

式で計算しながらの説明だったので接線の方程式の用い方も根本から理解できました!ありがとうございます(^_^)

お礼日時:2016/10/22 10:35

なんかよくわからんのだけど, A の座標を x や y としたままだと絶対に混乱しそうな気がするので A(x0, y0) のように

変えて全体をやり直した方がいいんじゃないかなぁ....
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この回答へのお礼

自分なりにやってみたら解けました!ヒントありがとうございます!

お礼日時:2016/10/22 10:36

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Aベストアンサー

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<解答の続き>
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x軸とy軸にはさまれているという意味は
例えば、楕円があって、y=mx+nの直線が接していて、この接線がy軸からx軸までの直線の長さを今題意で聞かれているのでしょうか???良く意味がわかりませ...続きを読む

Aベストアンサー

>x軸とy軸にはさまれているという意味は
両軸に平行でない接線である限り
x軸やy軸と交わりますね。
x軸との交点をP、y軸との交点をQとすれば
線分PQが該当する直線の部分ですね。
この線分PQの最小値を問題にしているわけです。

><質問>y=mx+nが楕円に接するための条件から?
>(b^2+a^2m^2)x^2+(2a^2mn)x+a^2n^2-a^2b^2
=0であっています。
私がやってみたところ質問者さんと同じ式が出てきました。
(単に式の整理の仕方が異なるだけかと思いますので気にする必要はないです。)
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となります。
これから、解答と同じ式が出て来ます。

><質問> ここでいうP、Qってy=mx+nがy軸を通過する時の点ですか?同じくx軸にも通過する時の点であってますか?

あっています。
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y切片の座標はQ(0,n)ですね。
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y=mx+n=0から
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お分かりになりましたでしょうか?

>x軸とy軸にはさまれているという意味は
両軸に平行でない接線である限り
x軸やy軸と交わりますね。
x軸との交点をP、y軸との交点をQとすれば
線分PQが該当する直線の部分ですね。
この線分PQの最小値を問題にしているわけです。

><質問>y=mx+nが楕円に接するための条件から?
>(b^2+a^2m^2)x^2+(2a^2mn)x+a^2n^2-a^2b^2
=0であっています。
私がやってみたところ質問者さんと同じ式が出てきました。
(単に式の整理の仕方が異なるだけかと思いますので気にする必要はな...続きを読む

Q曲線の矢印

パワーポイントで曲線の矢印を書きたいのですがやり方がわかりません。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

naohana_2005さん 今日は!
■線(直線、曲線、矢印...)↓
http://www.shinki-kaitaku.com/s13_column/partner04/p015.html
内容:線には、いくつかの種類がありますが、主に使うのは以下の4つ   です。a.直線 b.曲線c.矢印d.フリーフォームについて説明   されてます。
●曲線を描く↓
http://office.microsoft.com/ja-jp/powerpoint/HP051922171041.aspx
●PowerPoint で描画する↓
http://office.microsoft.com/ja-jp/powerpoint/HA101962731041.aspx
内容:[図形描画] ツールバー (ツールバー : コマンドを実行するのに使用するボタンやオプションを含むバー。ツールバーを表示するには、[ユーザー設定] ダイアログ ボックス ([ツール] メニューの [ユーザー設定] をクリックして、[ツールバー] タブをクリックします) を使用します。)の [オートシェイプ (オートシェイプ : アプリケーションにあらかじめ用意されている図形のこと。長方形や円などの基本図形、さまざまな線種、コネクタ、ブロック矢印、フローチャート、星とリボン、吹き出しなどがあります。)] をクリックします。[線] をポイントし、 (曲線) をクリックします。
以上を参考にされ図形の加工で「太くする」・「影をつける」・「3Dにする」
で好みの曲線矢印にして下さい。
PowerPointで作成し難ければWordで作成して其れをPowerPointに戻せます。

naohana_2005さん 今日は!
■線(直線、曲線、矢印...)↓
http://www.shinki-kaitaku.com/s13_column/partner04/p015.html
内容:線には、いくつかの種類がありますが、主に使うのは以下の4つ   です。a.直線 b.曲線c.矢印d.フリーフォームについて説明   されてます。
●曲線を描く↓
http://office.microsoft.com/ja-jp/powerpoint/HP051922171041.aspx
●PowerPoint で描画する↓
http://office.microsoft.com/ja-jp/powerpoint/HA101962731041.aspx
内容:[図形描画] ツールバー (ツールバー : ...続きを読む

QF(x+Vt)=-F(-x+Vt)ってx軸,y軸にそれぞれ対称になりますか?解説もしていただけるとあ

F(x+Vt)=-F(-x+Vt)ってx軸,y軸にそれぞれ対称になりますか?解説もしていただけるとありがたいです。

Aベストアンサー

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ご質問は、「独立変数 x, t の関数 F(x, t)」を考えて、
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 F(x, t) = F(-x, t)   (2)
なら
  y = F(x, t)
は「遇関数」で、y 軸に関して対象となります。

x軸に関して対称となるには、
 y = ±F(x, t)     (3)
となる必要があります。

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いつもお世話になっております。
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試行錯誤の末、回転ツールを使って(イ)のような直線矢印は作ることができましたが、このツールは曲線には使えないのでどうしたものか困っています。
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ご教授のほど、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

(イ)を作る時に垂直の(イ)を作る(前後の傾きはOK)。
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又は、先端と棒を別々に3Dで作る>棒だけを選択ツールで選択>オブジェクト>アピアランスを分割>オブジェクト>クリッピングマスク>解除>バウンディングボックスか回転ツールで90度回転>選択ツールで選択してブラシパレット内にドラッグ>アートブラシにチェックして、OK>適当に名前を付けて、OK>曲線(塗り無し・線有り)を描いて、登録したブラシをクリック>先端と棒を組み合わせる>棒の切り口が楕円になる場合は曲線の長さや線幅を調整。
但し、光の方向は曲線に合せて変化しないので3Dで作る時に光の方向に注意が必要です。

Q曲線 y=x^2-ax(a>0) と x軸とで囲まれる面積を、曲線 y

曲線 y=x^2-ax(a>0) と x軸とで囲まれる面積を、曲線 y=px^2 が2等分するように、pの値を求めよ

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(汚くてすみません・・(--;

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いつの間にか (1-p) が一つ減っています。
(問題の答えまではもうちょっと続きますが・・・)

解答の計算方法とは違う方法でやったので、自分がどこでミスっているのかがわからないのです。
何回も何回も計算しましたが、やっぱりわからないのです。

ちなみに普通の積分と同じようなやりかたでもやってみましたが、今度は-5a^3/6(1-p)^2となってしまいました。
多分マイナス計算でぐっちゃぐちゃになってるのだと思います・・・。

何回も考えて もう頭がこんがらがって意味がわかりません。
すみませんが教えてください

Aベストアンサー

こんばんわ。

下の部分の積分計算において、3行目から 4行目の変形でくくり出したはずの(1-p)が消えていますね。
これが、計算違いの原因だと思います。

もし余裕があれば、
∫[α→β] (x-α)(x-β)dx = -1/6* (β-α)^3

という準公式を一度使ってみてください。
2つの積分とも、これですっと計算できてしまいます。
その場合も、くくり出したところは忘れないように。

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一見変な感じですが、グラフをよく見てるとわかると思います。

Q【Aviutl】矢印を曲線上に伸ばす方法

Aviutlを使用し、動画を作成しているのですが、アニメーション効果を付けたく質問させて頂きました。(拡張編集プラグインは既に導入済みです。)

イメージとしては、数字の「9」をなぞる様に矢印が伸びていく物を作りたいです。
便利なプラグイン等やアドバイスなど頂ければ幸いです。

宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

こんなの?
https://www.youtube.com/watch?v=IThiFEjdpjo

Q曲線上の点P(x,y)における法線をLとし、Lとx軸との交点をQとする。

曲線上の点P(x,y)における法線をLとし、Lとx軸との交点をQとする。次の問に答え...

曲線上の点P(x,y)における法線をLとし、Lとx軸との交点をQとする。
次の問に答えよ。ただし、Oは原点を表し、|PQ|、|OQ|はそれぞれ線分PQ、OQの長さを表す。

(1) Lがつねに定点(a,b)を通る曲線の方程式を求めよ。
(2) |PQ|=|OQ|となる曲線の方程式を求めよ。

(1)は以下のように考えました。
P(x,y)における法線はy’(Y-y)+X-x=0で、点(a,b)を通るので
y’(b-y)+a-x=0
yy’-by’+ x-a=0
(y-b)dy=-(x-a)dx
両辺を積分して
整理すると、(x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2

(2)は方程式の立て方が分かりません。

アドバイスお願い致します。

Aベストアンサー

曲線f(x,y)=0上の点P(x,y)での接線ベクトル
を(dx、dy)
とすると
(x-a,y-b)と直交するから
(x-a)dx+(y-b)dy=0
d{(x-a)^2+(y-b)^2}=0
(x-a)^2+(y-b)^2=Const.

(2)
Q(0,q)とすると
QP=(x,y-q)
xdx+(y-q)dy=0 ・・・・(1)
|OQ|^2=q^2
|PQ|^2=x^2+(y-q)^2=q^2
x^2+y^2=2qy
(1)、すなわち、
2xydx+(2y^2-2qy)dy=0
に代入して
2xydx+(2y^2-(y^2+x^2))dy=0
2xydx+(y^2-x^2)dy=0
y^2d(x^2/y)+y^2dy=0
d(x^2/y)+dy=0
x^2/y+y=const.
x^2+y^2=2Cy
x^2+(y-C)^2=C^2
なお(y=0)はy≠0で法線がx軸と交わらないので解ではない)
ちなみにQは(0,C)
解は、Qを中心として、x軸に接する円


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