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曲線y=f(x)上にあるA(x,y)の接線とy軸の交点をBとした時、線分ABはx軸によって二等分される。上記の条件を満たし、(2,1)をとおる曲線求めよ、という問題について

上記の問題で解き方が腑に落ちず困っています。理解された方、教えていただきたいのですが、

回答では、Bはy軸の交点にあることから、x=0であるので、接点の方程式に代入すると、
y=y−xy'
となり、線分ABは二等分されるのでA,Bのy座標の絶対値は等しい、とありました。
しかし、その後の式で、
y−xy'=−y
とありましたが、上記右辺の−yはBのx=0をy−xy'へ代入したものであると考えているのですが、
なぜ接線の方程式にBのx=0を代入し、y座標y−xy'を求めた後、その後再びy−xy'へx=0を代入しているのでしょうか?

説明が長くて申し訳ないです。
みなさんにお力を貸していただければと思います。よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

あー、主さんは曲線上Aの座標(x、y)とAのところの接線の上の座標を混同していますね。


Aのところの接線の方程式はx、yとはちがうX、Yをつかわなくてはならない。
これを使うと、接線の方程式は、A(x、y)を通り、傾きy'の直線だから、
Y―y=y'(X―x)、これからBのy座標は左の式にX=0を入れて
Y=y―xy'・・・① と出てくる。
そして、このy切片Yは条件からAのy座標yと真反対だからY=―y、これを①に入れて
―y=y―xy'・・・②

この①②のことを解説の式は言っていますよ。
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この回答へのお礼

なるほど!確かにxが0ならBのyの座標はAの真反対でないと二等分されないですもんね。納得できました!ありがとうございます(^_^)

お礼日時:2016/10/22 09:04

質問者さんの説明なのか、解答例の記載なのか分かりませんが、変数の x, y と、その「特定の値」(たとえば点Aの座標)の区別がついていないので、「大混乱!」ですよ。

きちんと「頭」と「解答」を整理して書きましょう。

以下では、問題を

「曲線y=f(x)上にあるA(p, q)の接線とy軸の交点をBとした時、線分ABはx軸によって二等分される。上記の条件を満たし、(2,1)をとおる曲線求めよ」

として記載します。

曲線y=f(x)上のA(p, q)における接線の傾きは
 f'(p)
なので、接線の方程式は
 y = f'(p)*x + k     ①
と書けます。

(a) この①の y 軸との交点Bは、「接線の方程式①に x=0 を代入して」 (0, k) ということです。
  ←※「Bはy軸の交点にあることから、x=0であるので、接点の方程式に代入すると y=y−xy' となり」というのがこれ

(b) 題意より f'(p)≠0、k≠0 なので、①の x 軸との交点はCは、「接線の方程式①に y=0 を代入して」 ( -k/f'(p), 0) となります。

(c) CがAとBの中点であるためには、A~C,C~B間の x座標、y座標が
 q - 0 = 0 - k      ←※「線分ABは二等分されるのでA,Bのy座標の絶対値は等しい」というのがこれ
 p - [-k/f'(p) ] = -k/f'(p) - 0   ←※「その後の式で、y−xy'=−y とありました~」というのがこれかなあ?
であることが必要です。

 これから
  q = -k
  f'(p) = -2k/p = 2q/p
となりますので、①は
  y = (2q/p)*x - q     ②
となります。

これが(2, 1)を通るので
  1 = (2q/p)*2 - q = (4q/p) - q
よって、q ≠ -1 なので
  1 + q = 4q/p
  p = 4 / (1 + q)

②に代入して
  y = [ (1 + q)/2 ]*x - q     ③


 いずれにせよ、質問者さんの疑問は、(a)(b)(c) あたりのことを言っているのだと思います。少し頭と記号を整理して確認してみたらどうでしょうか。
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この回答へのお礼

式で計算しながらの説明だったので接線の方程式の用い方も根本から理解できました!ありがとうございます(^_^)

お礼日時:2016/10/22 10:35

なんかよくわからんのだけど, A の座標を x や y としたままだと絶対に混乱しそうな気がするので A(x0, y0) のように

変えて全体をやり直した方がいいんじゃないかなぁ....
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この回答へのお礼

自分なりにやってみたら解けました!ヒントありがとうございます!

お礼日時:2016/10/22 10:36

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Aベストアンサー

>x軸とy軸にはさまれているという意味は
両軸に平行でない接線である限り
x軸やy軸と交わりますね。
x軸との交点をP、y軸との交点をQとすれば
線分PQが該当する直線の部分ですね。
この線分PQの最小値を問題にしているわけです。

><質問>y=mx+nが楕円に接するための条件から?
>(b^2+a^2m^2)x^2+(2a^2mn)x+a^2n^2-a^2b^2
=0であっています。
私がやってみたところ質問者さんと同じ式が出てきました。
(単に式の整理の仕方が異なるだけかと思いますので気にする必要はないです。)
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これから、解答と同じ式が出て来ます。

><質問> ここでいうP、Qってy=mx+nがy軸を通過する時の点ですか?同じくx軸にも通過する時の点であってますか?

あっています。
Q点はy=mx+nのy切片ですね。
y切片の座標はQ(0,n)ですね。
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y=mx+n=0から
x=-n/mとなりますのでx切片の座標はP(-n/m,0)です。
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>x軸とy軸にはさまれているという意味は
両軸に平行でない接線である限り
x軸やy軸と交わりますね。
x軸との交点をP、y軸との交点をQとすれば
線分PQが該当する直線の部分ですね。
この線分PQの最小値を問題にしているわけです。

><質問>y=mx+nが楕円に接するための条件から?
>(b^2+a^2m^2)x^2+(2a^2mn)x+a^2n^2-a^2b^2
=0であっています。
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Q高速回転体軸のシール名

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このような拙い説明でお分かり頂けますでしょうか?
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Aベストアンサー

たぶんラビリンスだと思いますが

QF(x+Vt)=-F(-x+Vt)ってx軸,y軸にそれぞれ対称になりますか?解説もしていただけるとあ

F(x+Vt)=-F(-x+Vt)ってx軸,y軸にそれぞれ対称になりますか?解説もしていただけるとありがたいです。

Aベストアンサー

y軸って、
 y = F(x+Vt)
としたときという意味ですか?

ご質問は、「独立変数 x, t の関数 F(x, t)」を考えて、
 F(x, t) = - F(-x, t)   (1)
となるとき、
 y = F(x, t)
のグラフは x軸、y軸に対して対称となるか? ということと解釈します。

(1)から、F(x, t) は「奇関数」ということですから、 x軸、y軸に対して対称となりません。「原点」に関して対称となります。

 F(x, t) = F(-x, t)   (2)
なら
  y = F(x, t)
は「遇関数」で、y 軸に関して対象となります。

x軸に関して対称となるには、
 y = ±F(x, t)     (3)
となる必要があります。

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Qフランジ形軸継手の特徴について教えてください

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3、強度設計の考え方の違い
を教えてください

Aベストアンサー

ある解説文を引用すると、結合する2軸が一直線をなす場合に使用する永久軸継手には,2軸の軸線を完全に一致させて固定する固定軸継手と,軸線にわずかの狂いが生じても許容できるたわみ軸継手とがある。固定軸継手には,両軸のフランジ(つば状の部分)をボルトで締結するフランジ形固定軸継手があり,たわみ軸継手には,接合部にゴムや革などを介したフランジ形たわみ軸継手が多く使われる。

従って、回転に伴うストレスから軸受けの負担を減らし、かつ破壊や寿命の点から考慮されたもので
あると言えよう。

動力の伝達やフランジそのものの基本計算は余り変わりなく、介在される例えばゴムカップリングなど
ゴムが収納できるスペースと、運転速度と据え付け精度に左右される振動の配慮くらいではないでしょうか。

言うまでもなく、特に高速の部分にあっては、如何に当初正確に据え付けたとは言え、稼働中に
軸受けが移動するようなことでは困りますので、(継ぎ手もさることながら)軸受けの固定保持に
気をつけなければなりません。

Q曲線 y=x^2-ax(a>0) と x軸とで囲まれる面積を、曲線 y

曲線 y=x^2-ax(a>0) と x軸とで囲まれる面積を、曲線 y=px^2 が2等分するように、pの値を求めよ

という問題で、添付画像のように計算していったのですが、
途中の答えが解答とあいません
(汚くてすみません・・(--;

添付画像の最後の行の、 a^3/6(1-p)^3 が、解答では、a^3/6(1-p)^2 となっていて、
いつの間にか (1-p) が一つ減っています。
(問題の答えまではもうちょっと続きますが・・・)

解答の計算方法とは違う方法でやったので、自分がどこでミスっているのかがわからないのです。
何回も何回も計算しましたが、やっぱりわからないのです。

ちなみに普通の積分と同じようなやりかたでもやってみましたが、今度は-5a^3/6(1-p)^2となってしまいました。
多分マイナス計算でぐっちゃぐちゃになってるのだと思います・・・。

何回も考えて もう頭がこんがらがって意味がわかりません。
すみませんが教えてください

Aベストアンサー

こんばんわ。

下の部分の積分計算において、3行目から 4行目の変形でくくり出したはずの(1-p)が消えていますね。
これが、計算違いの原因だと思います。

もし余裕があれば、
∫[α→β] (x-α)(x-β)dx = -1/6* (β-α)^3

という準公式を一度使ってみてください。
2つの積分とも、これですっと計算できてしまいます。
その場合も、くくり出したところは忘れないように。

あと、この問題の答えは aに関係しないところがある種面白い問題ですね。
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一見変な感じですが、グラフをよく見てるとわかると思います。

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曲線上の点P(x,y)における法線をLとし、Lとx軸との交点をQとする。
次の問に答えよ。ただし、Oは原点を表し、|PQ|、|OQ|はそれぞれ線分PQ、OQの長さを表す。

(1) Lがつねに定点(a,b)を通る曲線の方程式を求めよ。
(2) |PQ|=|OQ|となる曲線の方程式を求めよ。

(1)は以下のように考えました。
P(x,y)における法線はy’(Y-y)+X-x=0で、点(a,b)を通るので
y’(b-y)+a-x=0
yy’-by’+ x-a=0
(y-b)dy=-(x-a)dx
両辺を積分して
整理すると、(x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2

(2)は方程式の立て方が分かりません。

アドバイスお願い致します。

Aベストアンサー

曲線f(x,y)=0上の点P(x,y)での接線ベクトル
を(dx、dy)
とすると
(x-a,y-b)と直交するから
(x-a)dx+(y-b)dy=0
d{(x-a)^2+(y-b)^2}=0
(x-a)^2+(y-b)^2=Const.

(2)
Q(0,q)とすると
QP=(x,y-q)
xdx+(y-q)dy=0 ・・・・(1)
|OQ|^2=q^2
|PQ|^2=x^2+(y-q)^2=q^2
x^2+y^2=2qy
(1)、すなわち、
2xydx+(2y^2-2qy)dy=0
に代入して
2xydx+(2y^2-(y^2+x^2))dy=0
2xydx+(y^2-x^2)dy=0
y^2d(x^2/y)+y^2dy=0
d(x^2/y)+dy=0
x^2/y+y=const.
x^2+y^2=2Cy
x^2+(y-C)^2=C^2
なお(y=0)はy≠0で法線がx軸と交わらないので解ではない)
ちなみにQは(0,C)
解は、Qを中心として、x軸に接する円


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