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曲線y=f(x)上にあるA(x,y)の接線とy軸の交点をBとした時、線分ABはx軸によって二等分される。上記の条件を満たし、(2,1)をとおる曲線求めよ、という問題について

上記の問題で解き方が腑に落ちず困っています。理解された方、教えていただきたいのですが、

回答では、Bはy軸の交点にあることから、x=0であるので、接点の方程式に代入すると、
y=y−xy'
となり、線分ABは二等分されるのでA,Bのy座標の絶対値は等しい、とありました。
しかし、その後の式で、
y−xy'=−y
とありましたが、上記右辺の−yはBのx=0をy−xy'へ代入したものであると考えているのですが、
なぜ接線の方程式にBのx=0を代入し、y座標y−xy'を求めた後、その後再びy−xy'へx=0を代入しているのでしょうか?

説明が長くて申し訳ないです。
みなさんにお力を貸していただければと思います。よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

あー、主さんは曲線上Aの座標(x、y)とAのところの接線の上の座標を混同していますね。


Aのところの接線の方程式はx、yとはちがうX、Yをつかわなくてはならない。
これを使うと、接線の方程式は、A(x、y)を通り、傾きy'の直線だから、
Y―y=y'(X―x)、これからBのy座標は左の式にX=0を入れて
Y=y―xy'・・・① と出てくる。
そして、このy切片Yは条件からAのy座標yと真反対だからY=―y、これを①に入れて
―y=y―xy'・・・②

この①②のことを解説の式は言っていますよ。
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この回答へのお礼

なるほど!確かにxが0ならBのyの座標はAの真反対でないと二等分されないですもんね。納得できました!ありがとうございます(^_^)

お礼日時:2016/10/22 09:04

質問者さんの説明なのか、解答例の記載なのか分かりませんが、変数の x, y と、その「特定の値」(たとえば点Aの座標)の区別がついていないので、「大混乱!」ですよ。

きちんと「頭」と「解答」を整理して書きましょう。

以下では、問題を

「曲線y=f(x)上にあるA(p, q)の接線とy軸の交点をBとした時、線分ABはx軸によって二等分される。上記の条件を満たし、(2,1)をとおる曲線求めよ」

として記載します。

曲線y=f(x)上のA(p, q)における接線の傾きは
 f'(p)
なので、接線の方程式は
 y = f'(p)*x + k     ①
と書けます。

(a) この①の y 軸との交点Bは、「接線の方程式①に x=0 を代入して」 (0, k) ということです。
  ←※「Bはy軸の交点にあることから、x=0であるので、接点の方程式に代入すると y=y−xy' となり」というのがこれ

(b) 題意より f'(p)≠0、k≠0 なので、①の x 軸との交点はCは、「接線の方程式①に y=0 を代入して」 ( -k/f'(p), 0) となります。

(c) CがAとBの中点であるためには、A~C,C~B間の x座標、y座標が
 q - 0 = 0 - k      ←※「線分ABは二等分されるのでA,Bのy座標の絶対値は等しい」というのがこれ
 p - [-k/f'(p) ] = -k/f'(p) - 0   ←※「その後の式で、y−xy'=−y とありました~」というのがこれかなあ?
であることが必要です。

 これから
  q = -k
  f'(p) = -2k/p = 2q/p
となりますので、①は
  y = (2q/p)*x - q     ②
となります。

これが(2, 1)を通るので
  1 = (2q/p)*2 - q = (4q/p) - q
よって、q ≠ -1 なので
  1 + q = 4q/p
  p = 4 / (1 + q)

②に代入して
  y = [ (1 + q)/2 ]*x - q     ③


 いずれにせよ、質問者さんの疑問は、(a)(b)(c) あたりのことを言っているのだと思います。少し頭と記号を整理して確認してみたらどうでしょうか。
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この回答へのお礼

式で計算しながらの説明だったので接線の方程式の用い方も根本から理解できました!ありがとうございます(^_^)

お礼日時:2016/10/22 10:35

なんかよくわからんのだけど, A の座標を x や y としたままだと絶対に混乱しそうな気がするので A(x0, y0) のように

変えて全体をやり直した方がいいんじゃないかなぁ....
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この回答へのお礼

自分なりにやってみたら解けました!ヒントありがとうございます!

お礼日時:2016/10/22 10:36

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