作用素ノルムに関する証明

初めての質問になります。

XとYはノルム空間
T:X→Y 線形写像
この時、以下の等式を示せ
sup{||Tx|| : ||x||≦１} ＝ inf{K : ||Tx||≦K||x||, x∊X}

関数解析の線形作用素、作用素ノルムに関する問題なのですが、
(左辺)≦(右辺)、(左辺)≧(右辺)をそれぞれ示し、等号を示したいと考えていますが、方針がわかりません。
Kは条件を満たす値全体だと思います。（Kについてこれといって書かれていませんでした）
調べた際に、過去の質問でも似たような問題を見かけましたがわからなかったので質問しました。

証明について詳しく教えていただきたいと思っています。
見にくい書き方かもしれませんが、よろしくお願いします。

補足
左辺について、
sup{||Tx|| : ||x||≦１} ＝ sup{||L(x)|| / ||x|| : x≠0} ＝ sup{||L(x)|| :||x||＝1}
上の等式が成り立つことは知っていますが、この等式を使わなければできない証明なのでしょうか？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2016/10/23 23:42

意味を考えると方針が見えやすいのではないかな。

　Tが線形なので、||x||=0なら||Tx||=0。また、任意の実数Kを決めて y= K xとおけば ||Ty|| = K||Tx||。
　だから||x||=0の場合を除いて考えれば、左辺は sup{||Tx||/||x|| : x∈X, ||x||>0}と言ってるのと同じで、右辺はinf{||Tx||/||x||: x∈X, ||x||>0}と言ってるのと同じでしょ。同じなんだけど、||x||=0の場合も含めて表現できるようにしたために見かけが変わっちゃっている、と解釈できるわけです。
　さて同じ物のsupとinfが一致するってことはですね、つまり、証明したいと仰る定理は「X上の任意の線形写像Tについて、ある定数K(∈実数)があって、任意の x∈Xについて||Tx|| = K||x||である」と言ってる訳です。