数学の問題です

1次変換f,g。
fは直線y=1/2xに関して対称な変換で
それらの合成変換f⚪︎gは原点を中心として正の向きにπ/4回転の変換になるという。
fを表す行列A,gを表す行列Bを求めよ

途中式があると嬉しいです!
よろしくお願い致します!!

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    fについては対称な変換で考える必要があります…(o_o)
    僕はtanθ=1/2として
    Aを
    cos2θ、sin2θ
    を使って求めたのですが
    もっと単純に解けるそうです…。

      補足日時:2016/10/29 00:30

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A 回答 (6件)

No.3です。


合成変換f⚪︎gは変換gを行ってから変換fを行う操作です。そしてfの条件からさらにfを行うと
gを行った直後の状態にもどります。そして、f⚪︎gは、π/4回転の変換ということなので
行列Bは(行列A)×(π/4回転の変換行列)という行列積です。したがって

Bは 7、 1 の行列の各成分に、1/(5√2)をかけた行列です。
   1、―7
さきほどと解答がちがってました。ごめんなさい。
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任意の位置ベクトルをpとする。


このベクトルをfで変換したものをp’とする。
pとp’が直線y=1/2xについて対称であることを利用すれば次のようなことが言える。
p’+p は任意の実数kを使ってk(2,1)と書ける。
p’-p は常にベクトル(2,1)に直交する。これはつまり、p’-pがk(1,-2)と書ける。
単位行列をEとすれば(A+E)、(A-E)に興味深い性質があるということになる。
2行2列の行列なのだしゴリゴリと解いてやればAは求まるでしょう。
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「もっと単純に解ける」というのが本当かどうかはともかく, 貴方は A を求めることができたんですよね.


それなら, もう終わったに等しいと思うのですが, あとは一体どこが分からないのでしょうか.
確認のため, 貴方が求めた A を書いてみてください.
あと, 合成変換 fg とは, x ∈ R^2 を fg(x) = f(g(x)) = A(Bx) に移す変換, と解釈してよろしいのでしょうか.
普通はこの順番で考えますけれど, 反対派の人もいるようですので, 念のため.
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対称な変換fを2回すると、もとにもどるので、そのあとπ/4回転の変換したものは


はじめからπ/4回転の変換をしたものと同じだから、
gの行列Bは(π/4回転の変換行列)× (行列A)の行列積ですね。結果は

行列B= ―1、7 の各成分に 1/(5√2) をかけた行列  だと思います。 
      7、1
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これは行列の演算についての学習ですね。

ですからその知識は既知としています。
点P(px,py)のy=(1/2)xに対する対称点の求め方について考え方を書きます。点Pを通ってこの直線に直交する直線を考えてはどうでしょうか。傾きが-2である直線の式はy-py=-2(x-px)となり、連立させて交点M(Mx,My)の座標を求めると
Mx=(4/5)px+(2/5)py、My=(2/5)px+(1/2)py
次に点Pの対称点をF(fx,fy)とすると、この交点Mは点Pと点Fの中点であることから、
fx=(3/5)px+(2/5)py
fy=(4/5)pxー(3/5)py
つまりこの変換fは | (3/5)  (2/5) |
          | (4/5) ー(3/5) |
という行列で表せます。
同様に考えてn/4回転の変換をn=1から順に行列で表したものをf○gとして、左からf^-1をかければgが取り出せるので行列演算を駆使すればgが求まるのではないでしょうか。
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「fは直線y=1/2xに関して対称な変換」っていってるのに, わざわざ「fについては対称な変換で考える必要があります」と補足する必要がどこにあるんだろうと疑問に思いつつ f だけ:



直線 y=(1/2)x に関して点Pと対称な点を Q としよう. 線分PQ の中点はどのような性質を持つかな? そして, 線分PQ と直線 y=(1/2)xとはどのような関係にある?
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