べき級数の収束半径を求めよ。

1,Σn=1 ∞ ((-1)^n)*n*2^n*z^n
2,Σn=1 ∞ n^3*z^n
3,Σn=0 ∞ ((2n+1)/n!)*z^n
4,Σn=0 ∞ ((-1)^n)*n!*z^n

以上の問題がわかりません。教えてください。
あまりわかっていないので丁寧にお願いします。

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A 回答 (11件中11~11件)

taropoo さんの回答がありますので,ちょっとだけ補足.



taropoo さんの(i)式は定義でなくて,定理ですね.
コーシー・アダマール(Cauchy-Hadamard)の定理と名前がついています.

級数の収束発散はもともとはε-N 論法で定義され,3つの場合
(a) z のすべての値に対して収束
(b) z のすべての値に対して発散
(c) ある正数ρがあって,|z|<ρのとき収束,|z|>ρのとき発散
しかないことを示すことができます.
(c)の場合のρが収束半径の定義.
(a)ならρ=∞,(b)ならρ= 0 とみなす.

(ii)の定理は,ダランベール(d'Alembert)の定理と名前がついています.

karkarl さんの質問は,多分,
解析学あるいは微分積分学などの授業に関する質問ですよね.
テキストで,コーシー・アダマールの定理やダランベ-ルの定理のあたりを
熟読し,全体の論旨と構成を把握する方が先だと思います.
でないと,よくわからず公式を適用しただけ,先に行くとまたわからない,
になってしまいます.

無限等比級数の収束発散はもちろんご存知ですよね.
荒っぽい言い方をすれば,(i)(ii)の定理は,
nが十分大きいところで問題の級数が公比1の無限等比級数より
増加が早いかどうかを調べている,
ということですが,そのあたりの理解は大丈夫でしょうか?
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Q任天堂のどうぶつの森は好きですか?

任天堂のどうぶつの森は好きですか?
今のところ最新作は、どうぶつの森 ハッピーホームデザイナーです。

Aベストアンサー

数年前に発売されていた、どうぶつの森が好きでしたが、流石に飽きました。
最新作の購入予定は有りません。

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

Qどうぶつの森はどこへ?

『どうぶつの森+』が出てから任天堂64の『どうぶつの森』が店頭から消えてしまいどこに行っても見つかりません。

噂でもう『どうぶつの森』は販売中止になったと聞きましたが、本当でしょうか?

ぜひ、手に入れたいので、
何か情報がありましたら教えて下さい。

Aベストアンサー

  『どうぶつの森』は人気ソフトでもともと品薄状態でした。
  ゲームキューブの『どうぶつの森+』が発売され、
  そのCMが流れたことによって、
  今までたいして興味がなかった64所有者たちが
  購入してしまったのでは?
  
  もしくはゲーム会社の戦略?
  だとしたら、販売中止のウワサも納得。

  それはさておき、以前、
  PS2の『パラッパラッパー2』発売直前・直後にはPS版『パラッパ…』が
  近所の中古屋を含めるすべてのショップの店頭から消えました。
  いろいろ探し回りましたが、結局手に入りませんでした。
  けれど、『パラッパ…2』の発売後まもなく、
  PS版『パラッパ…』は戻ってきましたので、
  『どうぶつの森』も世の中(?)が落ち着き次第、
  元のように売られることでしょう。

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Qどうぶつの森+の攻略本

こんにちは
こちらで質問し、無事にどうぶつの森+を購入致しました。
そこで新たな質問なのですが、
どうぶつの森+の攻略本はどれが良いか教えて頂きたいです。

検索した所、
「どうぶつの森+かんぺきガイドブック(ファミ通)」(エンターブレイン)
「どうぶつの森+(任天堂公式ガイドブック)」(小学館)
「どうぶつの森+(Nintendo dreamXNintendoスタジアム)」(毎日コミュニケーションズ)
「どうぶつの森+のんびり生活ぶっく」(双葉社)
などが挙げられると思います。

私は”かんぺき”と謳っているのだからファミ通の本にしようかと思っていたのですが、
実際に手に取って中身を比べる事ができず迷っています。
私は情報量が多く細かいものが良いです。どれが良いでしょうか?
もしくは買った本の傾向・良かった点などでも構いません。
検索に引っかからなかった物もあるでしょうし、上記以外の本でも結構です。
実際に購入した人の意見が聞きたいです。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。
「どうぶつの森+かんぺきガイドブック(ファミ通)」(エンターブレイン)と、「どうぶつの森+のんびり生活ぶっく」(双葉社)しか見ていませんけど、かんぺきガイドよりも のんびり生活ぶっくの方が、写真が大きくて(アイテム一覧などの)見やすかったです。攻略本としての情報量は、どちらを買っても差はないと思います。
ちなみに私は、のんびり生活ぶっくの方を買いました。攻略本としてほぼ完璧な内容で満足できましたよ。

QΣ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2は[a,∞)(∀a>0)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない事を示せ

こんにちは。

[問]Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2は[a,∞)(∀a>0)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない事を示せ。
[証]
(i) a≦x<1の時
0<∀ε∈R,∃n_1∈N;(∀x,n_1<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
(但し,L:=Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2)
(ii) x=1の時
0<∀ε∈R,∃n_2∈N;(∀x,n_2<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
(iii) x>1の時
0<∀ε∈R,∃n_3∈N;(∀x,n_3<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
を示し,n_0:=max{n_1,n_2,n_3}と採れば
0<∀ε∈R,∀x∈[a,∞),n_0<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε
が言えるのですがn_1,n_2,n_3をどのように採ればいいのかわかりません。
どのように採れますでしょうか?

あと、後半については0<∀ε∈R,xを十分小さく取れば∀n∈N⇒Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2>ε
を言えばいいのだと思いますがxをどのように小さく採ればいいのでしょうか?

こんにちは。

[問]Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2は[a,∞)(∀a>0)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない事を示せ。
[証]
(i) a≦x<1の時
0<∀ε∈R,∃n_1∈N;(∀x,n_1<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
(但し,L:=Σ[n=1..∞]√n/(1+nx)^2)
(ii) x=1の時
0<∀ε∈R,∃n_2∈N;(∀x,n_2<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
(iii) x>1の時
0<∀ε∈R,∃n_3∈N;(∀x,n_3<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε)
を示し,n_0:=max{n_1,n_2,n_3}と採れば
0<∀ε∈R,∀x∈[a,∞),n_0<n⇒|Σ[k=1..n]√k/(1+kx)^2-L|<ε
が言えるのですがn_1,n_2,n_3をどのように採れ...続きを読む

Aベストアンサー

こんばんは。#1さんが指摘されていらっしゃるように、質問者さんの回答は定義を書いているだけです。この方針で回答を導くのは無理だと思います。

[a,∞)で一様収束すること

任意のx∈[a,∞)に対して

(1+nx)^2≧(1+na)^2
      =1+2na+n^2a^2
      ≧n^2a^2

であるから、

Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2≦Σ[n=1…∞](√n)/(na)^2
                 ≦1/a^2Σ[n=1…∞](√n)/n^2
                 =1/a^2Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)

Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)は収束するから、Weierstrassの優級数の定理よりΣ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2は一様収束する。


(0,∞)で一様収束しないこと

一様収束すると仮定する。十分小さい任意のε>0に対して、適当な番号N>0が存在する。
N<nに対して、x=1/(2n)とすると

Σ[k=n+1…2n](√k)/(1+k・1/(2n))^2≧Σ[k=n+1…2n](√k)/(1+2n・1/(2n))^2
                      ≧n×(√(n+1))/4
                      >ε

となって矛盾となる。
したがって、Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2は(0,∞)で一様収束しない。


※一般的に関数列の一様収束性を定義に基づいて示すことは困難です。そのため、Weierstrassの優級数の定理等を用いて示すのが常道です。(0,∞)で一様収束しないことを示すのにはCauchy列の条件を使っています。
質問者さんがしっかり勉強してくれることを望みます。

こんばんは。#1さんが指摘されていらっしゃるように、質問者さんの回答は定義を書いているだけです。この方針で回答を導くのは無理だと思います。

[a,∞)で一様収束すること

任意のx∈[a,∞)に対して

(1+nx)^2≧(1+na)^2
      =1+2na+n^2a^2
      ≧n^2a^2

であるから、

Σ[n=1…∞](√n)/(1+nx)^2≦Σ[n=1…∞](√n)/(na)^2
                 ≦1/a^2Σ[n=1…∞](√n)/n^2
                 =1/a^2Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)

Σ[n=1…∞]1/n^(3/2)は収束するから、Weier...続きを読む

Q『どうぶつの森』と『牧場物語』

DSで欲しいゲームがあるのですが
どちらを買おうか迷っています。

『牧場物語 キミと育つ島』と『おいでよ どうぶつの森』です。

どうぶつの森はゲームキューブでやっておもしろかったのでまたやりたいなぁと思っています。
牧場物語はやったことはないのですが、今度Wiiで出るらしいので、その前にDSでやってみたいと思っています。結婚、出産はどうぶつの森じゃできませんし。

どうぶつの森しか経験がありませんが、ゲームの説明を読む限り雰囲気は似ているように感じました。

『牧場物語 キミと育つ島』と『おいでよ どうぶつの森』のどちらか、もしくは両方買って遊んでみて、「ここがおもしろい!」などお勧めポイントがあれば教えて下さい。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

釣りとかキャラクタとのコミニュケーションとか、
好きなことをして日々を過ごせるという意味では
確かに同じようなゲーム内容にも思えますね。

DSのほうは経験ないんですが、今までのシリーズをプレイした感触だと
牧場物語は経営シミュレーションとしての色が濃いと思います。
基本的に野菜を育てたり家畜の世話をしたり魚釣ったり、
それは全てお金を稼いで自分の牧場を拡大するのが目標です。

なので、どうぶつの森と比べると、結構忙しく走り回らなきゃなりません。
収穫して、水を撒いて、家畜にエサあげて、切り株割って…と
季節によってある程度効率の良い「一日のスケジュール」を決めて行動することになります。
最近の作品だとコロポックルに畑仕事をまかせられるようになっているので
仕事は小さいのに任せてまったりと釣りを楽しむ…というプレイスタイルもできます。
それでも基本的にはお金を稼ぐことがメインです。

どうぶつの森の毎日のほほんと過ごすプレイに慣れていると大変かもしれませんが、
これはこれでまた違った面白さがあるので、ぜひ一度プレイしてみて欲しい作品です。

と、ここまで見てレビューサイト見てみたら
http://ndsmk2.net/slg/bokujyo2.html
操作性に難有り、だそうです…操作がタッチペンオンリーとか。
慣れると大丈夫という声もあるようですが、Wiiを待つべきなのか

釣りとかキャラクタとのコミニュケーションとか、
好きなことをして日々を過ごせるという意味では
確かに同じようなゲーム内容にも思えますね。

DSのほうは経験ないんですが、今までのシリーズをプレイした感触だと
牧場物語は経営シミュレーションとしての色が濃いと思います。
基本的に野菜を育てたり家畜の世話をしたり魚釣ったり、
それは全てお金を稼いで自分の牧場を拡大するのが目標です。

なので、どうぶつの森と比べると、結構忙しく走り回らなきゃなりません。
収穫して、水を撒いて、家...続きを読む

QΣ[k=1..∞]1/k^(1+x)が任意のa>0に対して[a,∞)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない

こんにちは。

[問]Σ[k=1..∞]1/k^(1+x)が任意のa>0に対して[a,∞)で一様収束するが(0,∞)では
一様収束しない事を証明せよ。

が示せません。

一様収束の定義は
0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<n,x∈[a,∞)⇒|Σ[k=1..∞]1/k^(1+x)-Σ[k=1..n]1/k^(1+x)|≦ε)
です。


"p>1の時Σ[n=1..∞]1/n^pは収束,p<1の時発散"より
0<b<cに於いてΣ[k=1..n]1/k^(1+c)<Σ[k=1..n]1/k^(1+b)だから
Σ[k=1..∞]1/k^(1+c)<Σ[k=1..∞]1/k^(1+b)

とまで分かったのですがこれからどのようにして証明して分かりません。
どうぞご教示ください。

Aベストアンサー

こんばんは。♯1さんが指摘しているようにワイエルストラスの優級数の定理と一様収束の別の定義

0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<m<n,x∈[a,∞)⇒|Σ[k=m+1..n]1/k^(1+x)|≦ε)

はご存知ですか?この事柄を使えば

(1)[a,∞) で一様収束すること
∀x∈[a,∞) に対して 1/k^{1+x}≦1/k^{1+a} かつ
Σ[k=1…∞]1/k^{1+a} は収束するからワイエルストラスの優級数の定理より Σ[k=1…∞]1/k^{1+x} は[a,∞) で一様収束する。

(2)(0,∞) で一様収束しないこと
(0,∞) で一様収束すると仮定する。∀ε>0 に対して十分大なる自然数Nが存在するが、xとしてN<n なる任意のnに対して

x < (log(n/ε)/log2n)-1

となるようにxを選べば

Σ[k=n…2n]1/k^{1+x} > n/(2n)^{1+x} > ε

となり矛盾となる。したがって (0,∞) で一様収束しない。

Qどうぶつの森 ハワイですれ違い通信できますか?

来月ハワイに行くのですが、
現地で「どうぶつの森」のすれ違い通信などはできるんでしょうか?
どうぶつの森の米国版のゲームと互換性はありますか?

Aベストアンサー

DS本体の仕様は同じなので海外のDS本体と日本のDS本体で通信はできますが、
米国版「おいでよどうぶつの森」との互換性は全くありません。
違うソフトであるとお考え下さい。
ですので、現地ですれちがうことはムリですね。

マリオカートの対戦などは世界共通ですけどねぇ…
どうぶつの森だと、会話が通じませんから・・・


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