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べき級数の収束半径を求めよ。

1,Σn=1 ∞ ((-1)^n)*n*2^n*z^n
2,Σn=1 ∞ n^3*z^n
3,Σn=0 ∞ ((2n+1)/n!)*z^n
4,Σn=0 ∞ ((-1)^n)*n!*z^n

以上の問題がわかりません。教えてください。
あまりわかっていないので丁寧にお願いします。

A 回答 (11件中11~11件)

整級数 Σ{n=0~∞} a_n x^n の収束半径は



ρ = 1 / (lim{N→∞} sup{n≧N} |a_n|^(1/n)    …(i)

で定義されます。これにしたがって解いてもいいのですが、lim{n→∞} |a_n / a_(n-1)|が存在すれば

1 / ρ = lim{n→∞} |a_n / a_(n-1)|    …(ii)

が成り立ちますので、実際の問題を解くときには計算の楽なこちらを良く使います。
(ii)は「証明せよ」と指定のない限り、成り立つものとして使ってしまって大丈夫だと思います。
ご興味があれば証明を載せても良いのですが、あまり分かってらっしゃらないとの事なのでちょっと難解かもしれません。
ともあれ、解いて行きましょう。

1.
1 / ρ = lim{n→∞} |(-1)^n * n * 2^n|/|(-1)^(n-1) * (n-1) * 2^(n-1)|
    = 2 * lim{n→∞} |n / (n - 1)|
    = 2
 ∴ρ = 1/2

2.
1 / ρ = lim{n→∞} |n^3 / (n - 1)^3|
    = 1
 ∴ρ = 1

3.
1 / ρ = lim{n→∞} |(2n + 1) / n! / ((2(n - 1) + 1)) / (n - 1)!|
    = lim{n→∞} |(1 / n) * (2 + 1 / n) / (2 - 1 / n)|
    = 0
 ∴ρ = ∞

4.
1 / ρ = lim{n→∞} |(((-1)^n) * n!) / ((-1)^(n - 1)) * (n - 1)!)|
    = lim{n→∞} |n|
    = ∞
 ∴ρ = 0

計算ミスがあったらごめんなさい。(i)と(ii)とで確認しているので結果はあってると思いますが。
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