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教えてください。
徐々に落下する鎖の問題です。
http://wwwacty.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~acts/mech …

Q.水平な机の端付近に細くて長い鎖(質量線密度ρ)を積み上げる。鎖の一端は頂上にある。この端をつまんで動かし、机の端から長さ x0 だけ垂れ下げ、その状態で鎖全体を固定した。t = 0 で 固定をはずすと、垂れ下がった部分の受ける重力で引っ張られて、鎖の山から鎖の一部分が移動していき、垂れ下がった部分の長さ x が増大するとともに鎖の山も小さくなっていく。鎖は常に積み上げた「山」の頂上から移動していくものとする。また、鎖の山は机の端にきわめて接しており、机の端からの距離はないものとする。また、鎖の山の高さは十分低く、頂上の高さの変化も無視する。運動方程式を求めよ。

この現象の運動方程式を知りたいのですが、うまくいかずに困っています。
上記のURLのようにラグランジュ方程式から運動方程式を導くと
ρx g - ρv^2/2 = ρx a となり(aは加速度)、この解法自体は理解できるのですが、
自力で立てた運動方程式と異なってしまい、その原因が分からずにいます。

自力で立てると、質量mはρx 、F=(mv)' なので、
ρx g - ρv^2= (ρx v)' ・・・・・(1) より、
ρx g - ρv^2= ρv^2+ρx a
ρx g - 2ρv^2=ρx a となり、異なってしまいます。

自力の(1)式の左辺第2項のρv^2はPDFにもあるように鎖上端部の力積から来る張力のような効果です。(しかし、そもそもなぜPDFの後半の説明にあるようにこの力が半分の値になるのかもよく理解できません)

質問は「自力による運動方程式の立て方」ですが、
合わせて「なぜ力積による張力が半分の効果として現れるのか」
という点も教えて頂けますと助かります。
どうぞよろしくお願い致します。

A 回答 (2件)

>d(∂L/∂v)/dt - ∂L/∂x = F で計算してみたところ



そんなに簡単でした?

これを使う場合、FはΔx当たりのエネルギー損失を
見積もるところから始めないといけないはずですけど・・・
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なかなか面白い問題ですね。

ちょっと考え込んでしまいました。
おそらくラグランジュの方程式もあなたの答えも間違ってます。

ラグランジュの方程式は、現れる力が保存力の場合で、
現れるエネルギーが運動エネルギーと位置エネルギーのみ場合に
適用できます。

鎖の山から鎖が取り出される瞬間の力の働き方は明らかに
非弾性衝突なので、エネルギー損失を伴います。

鎖をロープで球がつながったものと考えるとわかりやすいです。
ロープで球をひとつづつ手繰って山から取り出すのを
イメージすると分かりやすい。

球が前の球にロープで山から取り出されるとき、速度は0から
無限大の加速で v へ変化します。これを例えば2個の同重量の球で
計算すると

1) 手繰る前のエネルギー = (1/2)mv^2
2) 手繰って次の球が取り出されたあとのエネルギー
(1/2)m(v/2)^2 + (1/2)m(v/2)^2 = (1/4)mv^2

でエネルギーを保存しません。

なのでラグランジュの方程式では解けないと思います。

単純に、エネルギーの非保存に耐える、運動量保存則で攻めるのが
正解だと思います。

鎖が解けてゆくとき、外部からは重力しか加わらないので、運動量は
dP/dt=gρx (g: 重力加速度)

P = ρxv なので

d(ρxv)/dt=ρxa + ρv^2 = gρx (a: 加速度、g: 重力加速度)

これが運動方程式でしょう。(1/2)ρv^2 は誤りでしょう。

(1/2)ρv^2 で計算すると、当然ラグランジュの方程式の仮定から
力学的エネルギーが保存した解が得られます。

しかし、最初の考察から、エネルギーの散逸は避けられないはずなので
そういう答えは誤りのはずです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
確かに非保存力なので通常のラグランジュ方程式は使えなそうですね。
というわけで非保存力Fのある場合のラグランジュ方程式 
d(∂L/∂v)/dt - ∂L/∂x = F で計算してみたところ、
運動方程式は ρxg + ρv^2/2 =ρxa となり、
tknakamuriさんの書かれた式、ρxa + ρv^2 = gρx とも異なりました。
やはりまだ何かおかしい気がします。

お礼日時:2016/10/31 08:38

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Q鎖を引き上げる運動

ひとまとまりに置かれた鎖の一端を手で持って引き上げる運動を考える。鎖の綿密度をλ、重力加速度の大きさをg、鉛直上方をz軸の正の向きとする。

(1)引き上げられた部分の長さがzで静止しているとき、鎖を支えている手が及ぼしている力はいくらか?

(2)一方、鎖の先端位置(手の位置)がz、速度がv、加速度がaのとき手が及ぼしている力Fを求めよ。

(3)次に、一定の速度v_0で引き上げる場合を考える。t=0に引き上げ始めた(z(0)=0)とする。手の高さがzになるまでに手がした仕事W(z)と、その時の鎖の力学的エネルギーE(z)を求めよ。

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という問題なのですが、(1)は力のつりあいから λzg だとわかるのですが、(2)がどうやったらいいか分かりません。どう解くのでしょうか?
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Aベストアンサー

(2)
鎖の先端の高さがzのとき、宙に浮いている鎖の質量はλzになります。
力は運動量を時間で微分したものなので、Fから鎖にかかる重力λzgを
差し引いたものが運動量の時間微分になります。運動量はλzvですから、
F-λzg=d(λzv)/dt
     =λ(z・dv/dt+v・dz/dt)
     =λ(za+v^2)
よって
F=λ(zg+za+v^2)

(3)
速度が一定なので上記においてa=0、かつ速度がv0なので、Fは
F=λ(zg+v0^2)
変数としての鎖先端の高さをhとします。
W(z)=∫Fdh (積分範囲は0からz)
    =λ∫(hg+v^2)dh (積分範囲は同上)
    =λ[gh^2/2+hv0^2] (範囲は同上)
    =λ(gz^2/2+zv0^2)

E(z)は質量λzの鎖の位置エネルギーと運動エネルギーを考えれば
よくて、前者はλgz^2/2 (2で割っているのは、宙に浮いている鎖の
重心がz/2の高さにあるからです) であり、後者はλzv0^2/2です。
よって
E(z)=λ(gz^2+zv0^2)/2

(4)
一言でいうと、質量が変化するからW(z)とE(z)が同じにならないということ
です。下記はそのものズバリの問題ではありませんが、参考にはなります。
例題7と8を見て下さい。
https://online.lec-jp.com/images/goods_book/KL/KL10057.pdf

(2)
鎖の先端の高さがzのとき、宙に浮いている鎖の質量はλzになります。
力は運動量を時間で微分したものなので、Fから鎖にかかる重力λzgを
差し引いたものが運動量の時間微分になります。運動量はλzvですから、
F-λzg=d(λzv)/dt
     =λ(z・dv/dt+v・dz/dt)
     =λ(za+v^2)
よって
F=λ(zg+za+v^2)

(3)
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F=λ(zg+v0^2)
変数としての鎖先端の高さをhとします...続きを読む

Q高校物理、力学的エネルギーの問題

長さLの鎖の落下運動で、水平面上にaだけのっていて、L-a の長さだけ垂れ下がっています(図がないとうまく説明できない…)摩擦は0ですから、当然鎖はスルスルと落ちていきます。水平面上から完全に鎖が滑り落ちた瞬間の速さを求めるのですが、位置の基準の決め方で値が変わってくるような事態になっています。参考書では基準を水平面にしていました。なぜでしょうか?是非教えてください。

Aベストアンサー

#6です。
ごめんなさい。きちんとチェックしないで答えて間違いました。
基準はあっています。a/2もあっています。
間違いは別の場所です。
基準を鎖の上の端が水平面から離れるときの重心の位置、水平面からL/2下のところにとっています。だからはじめの位置での鎖の位置エネルギーは水平面の上にある長さaの部分と垂れている長さL-aの部分との足し算なのです。上の部分の位置エネルギーが抜けているのです。その部分の位置エネルギーが落ちていくにしたがって小さくなっていきます。これは水平面を基準のとっていると出てきません。その代わりあなたの計算では消えてしまっていた水平面からL/2下に重心のある鎖の位置エネルギーが入ってきます。
これでどちらでやってもおなじになるはずです。

Q角運動量保存則が分かりません

質量m長さlの均質な剛体棒が、端Aを中心として回転できるように、端Aで支持
されている。質量mの球が水平方向から速度vで棒の端Bに衝突した。
衝突直後球と棒は一体となり角速度wで運動を始め、鉛直方向からθの位置まで振れた。
衝突前の球の速度vはいくらか。

Iθ"=lF-mglsinθ/2
ml^2θ"=-lF-lmgsinθ

から両辺を足し、
Iθ"+ml^2θ"=-lmgsinθ-mglsinθ/2
両辺にθ’をかけて
(I+ml^2)θ'^2/2-3/2mglcosθ=一定
という式がでませんか??

そこで(I+ml^2)w'^2/2-3/2mgl=-3/2mglcosθ
となりませんか??
でもそのあとvとはどのように求めるのでしょうか??
角運動量保存則を使うのでしょうけれども、
使い方とそこで使える理由が分からないのです。

Aベストアンサー

>(I+ml^2)θ'^2/2-3/2mglcosθ=一定
>という式がでませんか??

でます。
>そこで(I+ml^2)w'^2/2-3/2mgl=-3/2mglcosθ
>となりませんか??
wに'がついているのが誤植であるのなら、確かにそうなります。θ=60°とすれば(そんな条件があるのか知りませんがw)、模範解答の

>(I+ml^2)w'^2/2=mgl(1-cos60)+ mgl/2(1-cos60)・・・・3
の式になります。


さて、問題は、
>衝突前の球の速度vはいくらか。
です。従って、衝突直前と直後の関係を考えなければなりません。

運動方程式を立てるのは困難(衝突時に働く力が分からないから)なので、何らかの保存量を考えた方がいいでしょう。

まず、衝突時に働いている力を書き出してみると、
(重力の向きをx軸、衝突前の小球の運動方向をy軸、それに垂直な向きにz軸をとります)

小球:重力(y軸方向)、衝突時に剛体棒から受ける力(x軸方向)
剛体棒:重力(y軸方向)、衝突時に小球から受ける力(x軸方向)、端点Aでの拘束力(剛体棒に平行な方向)

のようになります。

さて、保存量として代表的なのは、エネルギー、運動量、角運動量ですので、これらが保存されるかどうかを考えます。

エネルギーが保存されるのは、保存力を受ける場合(非保存力を受けない場合)ですが、衝突時に受ける力が保存力ではないので、衝突の前後でエネルギーは保存しません。
(ちなみに、衝突後に働く力は、重力と拘束力です。重力は保存力で、拘束力は仕事をしないのでエネルギーが保存されます)

系の運動量が保存されるのは、その方向の外力がゼロの場合です。
ここでいう外力とは、重力と剛体棒の拘束力で、x軸方向もy軸方向もゼロではありませんので、x,y軸方向の運動量は保存しません。
(z軸方向はゼロなので、運動量が保存されますが、これは明らかなので考えません)

系の角運動量が保存されるのは、その方向の外力によるトルクがゼロの場合です。
剛体棒の拘束力によるA周りのトルクはゼロです。(拘束力は剛体棒と平行だから)
重力の拘束力によるA周りのトルクは衝突が瞬時に行われるとすれば、無視できます。

結局、A周りの角運動量が保存される事になります。z軸方向の角運動量の保存から
>mVl=(I+ml^2)w・・・・2
が得られます。(x軸,y軸方向の角運動量はゼロなので考えません)

>(I+ml^2)θ'^2/2-3/2mglcosθ=一定
>という式がでませんか??

でます。
>そこで(I+ml^2)w'^2/2-3/2mgl=-3/2mglcosθ
>となりませんか??
wに'がついているのが誤植であるのなら、確かにそうなります。θ=60°とすれば(そんな条件があるのか知りませんがw)、模範解答の

>(I+ml^2)w'^2/2=mgl(1-cos60)+ mgl/2(1-cos60)・・・・3
の式になります。


さて、問題は、
>衝突前の球の速度vはいくらか。
です。従って、衝突直前と直後の関係を考えなければなりません。

運動方程...続きを読む

Q雨滴の運動質量が変化する落体の運動で次の問題の式の解き方がわかりません。はじめ静止していた質量

雨滴の運動
質量が変化する落体の運動で次の問題の式の解き方がわかりません。

はじめ静止していた質量m0の雨滴が、単位時間にμの割合で周囲の静止した水滴を取り込みながら重力場の中を落下していく。
時間tのあとの速度を求めよ。

という問題で写真のような模範解答なのですが最後の(3)式の求め方がわかりません。
簡単な変数分離で解けるのでしょうか?

Aベストアンサー

No.1 です。

ご質問の「(3)の導き方」には触れていませんでしたね。

(3)の式は、(2)において
  p = mv   (4)
という「運動量」に置き換え、
  dp/dt = mg
という「ニュートンの運動方程式(F = ma = m(dv/dt) = dp/dt )」そのものにしてから、右辺の「力: F=mg」の項に
  m = m0 + μt
という「質量の時間変化」を代入し
  dp/dt = ( m0 + μt )g
これを時間で積分して
  p = m0gt + (1/2)μgt^2
ここで上記(4)により
  p = mv = ( m0 + μt )v
に戻して
  v = p/m = [ m0gt + (1/2)μgt^2 ] / ( m0 + μt )
としたものでしょう。

 ただし、これは「燃料を消費して軽くなりながら進むロケット」のような場合で、軽くなった(あるいは重くなった)質量は、その場で「異なる速度を持って離れる(または合体する)」という場合です。
 雨のような自然重力落下の場合には、空気の抵抗を考えなければ、雨滴に取り込む周囲の「水滴」も重力で加速されているので、合体する前に同じ速度を持っているはずです。この考え方の基づいたのがNo.1の回答です。

 でも、ご質問の問題をよく読むと、「周囲の静止した水滴を取り込みながら」と書いてありますね。
この場合には、(2)式の左辺は「質量と速度の両方が変化する運動量として取り扱う」ことが必要で、上記のような式変形になります。
 「静止している(=運動量がゼロ)水滴を取り込む」ので、質量が変化しない自然落下に比べると加速が悪く、落下は遅くなります。

 質問文をよく読まない回答で、申し訳ありませんでした。

No.1 です。

ご質問の「(3)の導き方」には触れていませんでしたね。

(3)の式は、(2)において
  p = mv   (4)
という「運動量」に置き換え、
  dp/dt = mg
という「ニュートンの運動方程式(F = ma = m(dv/dt) = dp/dt )」そのものにしてから、右辺の「力: F=mg」の項に
  m = m0 + μt
という「質量の時間変化」を代入し
  dp/dt = ( m0 + μt )g
これを時間で積分して
  p = m0gt + (1/2)μgt^2
ここで上記(4)により
  p = mv = ( m0 + μt )v
に戻して
  v = p/m = [ m0gt + ...続きを読む

Q中が中空の球の慣性モーメントの求め方について

中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。
球の質量をM、半径をaとすると2/3Ma^2となるとは思うのですが、求める過程がわからないのです。
教えてください。

Aベストアンサー

球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

r≠aではρ=0なのでr=aだけを考えればよく、面積分に帰着するわけです。
球の質量はr=aに一様分布なので(面)密度ρ=M/(4πa^2)となります。

それで、座標Ω=(θ,φ)において、z回転軸周りでは面積素片はdS=a^2*sinθdθdφになりますよね。さらに軸からの距離r'=a*sinθです。

あとはI=Mr^2に沿って計算すれば、
(0<θ<π, 0<φ<2π)

I=∬ρr'^2 dS
=ρ∬(a*sinθ)^2*a^2*sinθdθdφ
=ρa^4∬(sinθ)^3 dθdφ
=Ma^2/(4π)*2π∫(sinθ)^3 dθ
=Ma^2/2*(4/3)
=(2/3)Ma^2

と、こんなもんでよろしいのではないでしょうか。
慣性モーメントの計算なんて7年ぶりくらいです。ああ、間違ってないといいけど・・・(自信なくてすみません)

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Q同心球殻状の導体から作られるコンデンサー 電場 電位差 電気容量

半径aと半径b(a<b)の同心球殻状の導体から作られるコンデンサーを考える。
外側球殻が電荷Qを帯び、内側球殻が電荷-Qを帯びているとし、以下の問いに答えよ。
(1)外側球殻と内側球殻にはさまれた領域の電場を求めよ。
(2)外側球殻と内側球殻の電位差Vを求めよ。
(3)このコンデンサーの電気容量を求めよ。

という問題が解けません。
特に、同心球殻状の導体から作られるコンデンサーの考え方がわかりません。
どなたか解いていただけませんか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的な考え方だけ説明します。
「球面上に一様に分布した電荷qは、球内に電場を作らず、球外では
動径方向を向く電場E(r)=q/(4πεr^2)をつくる」(ε:真空の誘電率)

内球に電荷q1が分布するとき、
0<r<aでE1(r)=0,a<rでE1(r)=(1/4πε)(q1/r^2)
外球に電荷q2が分布するとき、
0<r<bでE2(r)=0、b<rでE2(r)=(1/4πε)(q2/r^2)
実際の電場は、E(r)=E1(r)+E2(r)

電荷は、内球の外面にq1,外球の内面に-q1,外球の外面にq2分布する。

電位は、
φb=∫[0→∞] E(r)dr=(1/4πε)(q1+q2)/b
φa=φb+∫[a→b] E(r)dr=φb+(q1/4πε)(1/a-1/b)

q1=-Q,q2=+Qより、電位差は、
V=φa-φb=(Q/4πε)(1/a-1/b)だから、
C=Q/V=(Q/4πε)/(1/a-1/b)

Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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Qヨーヨーの物理: 糸を引く加速度とヨーヨーの加速度

こんにちは、勉強させて頂いております。
あるヨーヨーの物理に関する問題にであいまして、アドバイス頂きたいことがあり投稿しました。
添付の図をご覧下さい。半径r、質量mのヨーヨーがあり、簡単のため糸が巻いてある軸の半径もrとします。
ヨーヨーの中心の加速度をaとする場合にする場合に必要な、糸を引く加速度Aを求めよ、という問題です。

中心(重心)の並進運動、ヨーヨーの回転運動について運動方程式を立て、

ma = T – mg ….. (1)
Iα = rT …. (2)

I: 慣性モーメント = ½ mr^2
α: 角加速度 (未知数)
T: 張力 (未知数)
a: ヨーヨーの加速度 (既知、条件)

さらに、糸を引く加速度Aとa、αの関係が
rα = A – a …. (3)
の関係にある、とのことが模範解答にありました。
しかしながら、この最後の(3)がなぜそう言えるのか、いわれてみればそうかも知れない、という程度でして、理由が明確に理解できずにおります。

たとえば、水平面を滑らずに転がっている円盤があるとして、その中心の
移動距離 = 回転距離(回転角度 [rad] x 半径)
となり、この両辺を時間で微分して、
V = rω
さらに微分して
a = rα
という流れは理解できるのですが、上の式(3)の導出の流れが分かりません。
どうか宜しくお願いします。

こんにちは、勉強させて頂いております。
あるヨーヨーの物理に関する問題にであいまして、アドバイス頂きたいことがあり投稿しました。
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Iα = rT …. (2)

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α: 角加速度 (未知...続きを読む

Aベストアンサー

"相対加速度"を考えれば良いでしょう。

ヨーヨーの中心Oは、上向きに、大きさaの加速度運動をしています。
一方、ヨーヨーと糸との接点部分Pの加速度は、上向きに、大きさAです。
∴Oから見たPの加速度は、鉛直上向きにA-aとなっているはずです。
 
ところで、Oから見るとヨーヨーの周縁部のPは、回転していると見なせるはずです。
こう考えると、Pの、Oに対する相対加速度 A-a(=α) は、回転の角速度の大きさでもあり、向きも、図の鉛直方向の向き=接点の回転運動の回転の方向 でもあるわけで、
 r・α=A-a
となります。

Qヨーヨー

糸を鉛直にして手を離すとき、ヨーヨーの落下する加速度aと糸の張力T、
また糸が伸びきってから巻き上がる時の加速度と張力を求めたい。

(ただしヨーヨーは質量M、中心の周りの慣性モーメントI、糸の巻きつく部分は半径r。)

まず、鉛直下方にx軸を取ると
Ma=Mg-T
回転角をθとすると、
v=rω (v=rθ´)
重心の周りの角運動量は Iω (Iθ´)

ここまでは分かったのですが、ほかにどのような条件を混ぜてa、Tを求めてよいか分かりません。
ちなみに答えは
a=g/(1+I/Mr^2)
T=gMI/(I+Mr^2)
になります。

また、落下と上昇ともに答えが同じになるのはなぜなのでしょうか?

どなたか解説をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1,2ですが,補足に対する回答です.

並進運動:Ma=Mg-T ・・・(1)
回転運動:Idω/dt(=Id^2θ/dt^2)=T・r ・・・(2)
拘束条件:v=rω ⇒ a=rdω/dt ・・・(3)

(3)を(1)に代入,さらに両辺r倍して
Mr^2dω/dt=Mgr-Tr ・・・(4)
(4)+(2)より
(Mr^2+I)dω/dt=Mgr
⇔dω/dt=Mgr/(Mr^2+I) ・・・(5)
r倍して(3)より
a=Mgr^2/(Mr^2+I)=g/(1+I/Mr^2)
これと(1)より
T=Mg-Ma
 =Mg(1-a/g)
 =Mg{1-1/(1+I/Mr^2)}
 =MgI/(Mr^2+I)


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