プロが教えるわが家の防犯対策術!

はじめまして。
ローラン展開についてお尋ねしたいのですが、
たとえばf(z)=z^3sin(1/z)を0<|z|<Rでローラン展開するとき、
sinζ=ζー(ζ^3/3!)+ζ^5/5!・・・
とテイラー展開し、ζ=1/zと置いてやると、ローラン展開は
f(z)=Z^3sinζとなるのがわからないのです。
具体的にはζをなぜ1/zとおくのか、
またなぜその結果ローラン展開がsinζにz^3をかけたものに
なるのかがわかりません。

何か根本的なことがわかっていないのでしょうか。
ローラン展開はテイラー展開のnを-∞から+∞にしたものだ
という認識なのですが

A 回答 (1件)

>具体的にはζをなぜ1/zとおくのか、


>またなぜその結果ローラン展開がsinζにz^3をかけたものに...

何がわからないのかが、よく分かりませんが。

sinζ=ζー(ζ^3/3!)+ζ^5/5!・・・
なんだから、ζ=1/zと置けば、(z≠0)
sin(1/z) = (1/z)ー((1/z)^3/3!)+(1/z)^5/5!・・・
それに、z^3をかけただけ、てことじゃないの?

とりあえず、z=0は孤立特異点なんでローラン展開が可能なことは分かってるんで、あとは、なんとかして適当にそれらしいものを求めればOKってことです。

もちろん、コーシーの定理
<img src="http://d.hatena.ne.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?5$a_n= …{1}{2\pi}\oint\frac{f(z)}{z_{n+1}}dz">
を直接計算してもいいにはいいけど。
(タグ使えるかテスト。だめだったっら参考URL。)

参考URL:http://d.hatena.ne.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?7$a_n= …{1}{2\pi}\oint\frac{f(z)}{z_{n+1}}dz
    • good
    • 0
この回答へのお礼

2年たってようやくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時:2006/07/18 01:34

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!