はじめまして。
ローラン展開についてお尋ねしたいのですが、
たとえばf(z)=z^3sin(1/z)を0<|z|<Rでローラン展開するとき、
sinζ=ζー(ζ^3/3!)+ζ^5/5!・・・
とテイラー展開し、ζ=1/zと置いてやると、ローラン展開は
f(z)=Z^3sinζとなるのがわからないのです。
具体的にはζをなぜ1/zとおくのか、
またなぜその結果ローラン展開がsinζにz^3をかけたものに
なるのかがわかりません。
何か根本的なことがわかっていないのでしょうか。
ローラン展開はテイラー展開のnを-∞から+∞にしたものだ
という認識なのですが
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>具体的にはζをなぜ1/zとおくのか、
>またなぜその結果ローラン展開がsinζにz^3をかけたものに...
何がわからないのかが、よく分かりませんが。
sinζ=ζー(ζ^3/3!)+ζ^5/5!・・・
なんだから、ζ=1/zと置けば、(z≠0)
sin(1/z) = (1/z)ー((1/z)^3/3!)+(1/z)^5/5!・・・
それに、z^3をかけただけ、てことじゃないの?
とりあえず、z=0は孤立特異点なんでローラン展開が可能なことは分かってるんで、あとは、なんとかして適当にそれらしいものを求めればOKってことです。
もちろん、コーシーの定理
<img src="http://d.hatena.ne.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?5$a_n= …{1}{2\pi}\oint\frac{f(z)}{z_{n+1}}dz">
を直接計算してもいいにはいいけど。
(タグ使えるかテスト。だめだったっら参考URL。)
参考URL:http://d.hatena.ne.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?7$a_n= …{1}{2\pi}\oint\frac{f(z)}{z_{n+1}}dz
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