物理学の問題ですが全く分かりません。解答と解説をお願いします。

長さLの軽い糸の一端に質量mの粒子を取り付け、他端を定点に固定して振り子を作る。この振り子が一定の鉛直面内で運動する場合を考え、運動の途中で糸がたるむことはないものとする。(単振り子)図のように座標軸を設定し、糸の振れ角をθ、重力加速度をgとする。
微小振動の場合を考える。時刻0において粒子がθ=ε(0<ε<<1)にあり、速度が0であったとして、運動方程式の解と振動の周期Tを求めよ。

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2016/11/06 10:03

εが微小である時y方向の変位は

y=lε　　(1)
で近似できる。sinε=ε なので。
上の近似と同様に考えて、y方向の力Fは
F=-mgε　　(2)
(1)式の両辺をlで割ったもの(2)に代入して整理すると
F= -mgy/l
この式はy方向の力がy方向の変位に比例することを意味する。
つまりばね定数mg/lのばねの単振動に相当する運動だということが式からわかります。
ばねの単振動の周期が
T=2π√(m/k)
であることを利用すると周期は
T= 2π√(l/g)

この回答へのお礼

解決しました！ありがとうございました！

お礼日時：2016/11/06 19:49

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/11/05 23:57

典型的な「振り子」「単振動」の問題です。

「問題」というよりも、「単振動」の例題として、どんなテキスト・参考書にも出てくると思いますよ。

ただ、この問題の場合は、x/y軸の取り方が普通と逆なのでご注意。

重りに働く重力は -mg (下向き）
これが
　・糸を引っ張る方向に働く力（糸の延長線の方向） -mg*cosθ
　・糸に直角な方向に働く力（糸に直角な方向） -mg*sinθ
に分解できます。

「振り子」を揺らす力になるのは、このうち「糸に直角な方向に働く力」ですね。
なので、運動方程式は
　働く力：F = -mg*sinθ
で、重りの「単振動」の加速度を a とすると
　-mg*sinθ = ma
よって
　a = -g*sinθ

θ が小さいときには、糸の長さを大文字の L にして、sinθ ≒ θ , y=L*θ なので
　a = -g*y/L　　　　　　　　　　①

加速度 a とは、
　d²y/dt²
ですから①は
　d²y/dt² = -g*y/L　　　　　　　　　②

これは y の２階微分方程式なので、
　y = A * cos(ωt)
が解のひとつになります。

t=0 のとき y≒ε なので A = ε
よって
　y = ε * cos(ωt)　　　　　③

②に代入してみれば
　-ε * ω² * cos(ωt) = -g*ε * cos(ωt) /L
よって
　ω² = g/L
より、ω > 0 として
　ω = √(g/L)

③をこれで書き替えれば
　y = ε * cos[√(g/L) *t ]

詳しくは、こんなサイトを参照ください。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/tann …
http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=5325&PHP …

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました！

お礼日時：2016/11/06 19:50