数学の問題です。 この問題の⑵の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

数学の問題です。
この問題の⑵の解き方を教えてください。よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2016/11/19 22:05

No.2です。

<u=sin(t-x),u=-sin(t-x)とおいていますが、違うものを同じ文字で置き換えてもいいのでしょうか>
あのー、もちろんu=sin(t-x),ｓ=-sin(t-x)と、ちがう文字でおきかえるのはかまいません。
ただ、定積分の値はインテグラルの記号のすぐ横の、上の値と下の値によって決まるので、
同じ文字でおきかえても、ちがう文字でおきかえても積分の結果にちがいはないのです。

＜cos|t-x|の絶対値を外す時、どちらの場合分けにおいても負にならないらしいのですが、どうして
それが分かるのですか？場合分けの2つ目の範囲だとcos(t-x)が負になり得るのではないかと
思ったのですが…＞
たしかに|t-x|は―(t-x)のばあいと、t-xのばあいとにわかれますが、
いずれのばあいであっても、cosには、cos(－y)＝cosｙという性質があるので
t-xの正負にかかわらずcos|t-x|＝cos(t-x)と書いてもよいのです。

この回答へのお礼

とても分かりやすい解説で助かりました！ほんとうにありがとうございました！

お礼日時：2016/11/20 12:36

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2016/11/19 17:35

こまかい計算の確認はおまかせするとして、要点をいいます。

まず、0≦ｘ≦π/2のとき
積分を0からｘ、ｘからπ/2と2つにわけると、下の画像の１行目
の式になり、それぞれｕ＝－sin(ｔ－ｘ)、ｕ＝sin(ｔ－ｘ)とおいて置換積分すれば、
ｇ(x)は①のようになります。つぎにｇ(x)の、この区間での増減をしらべるため微分すると
ｇ’(x)は②の左の等号のようになりますが、これを②の右の等号のように変形します。
ここで設問（1）の結果をみちびくとき出てきた、ｆ(x)＝ｘｅ^(－ｘ)はｘ≦1で単調増加
という結果をつかいます。
すると、ｇ’(x)は0≦ｘ≦π/4のとき、ｇ’(x)≧0、またπ/4≦ｘ≦π/2でｇ’(x)≦0がわかるので
ｇ(x)はｘ＝π/4で極大値　2(e^(1/√2)－1)をとることがわかります。そしてこれは
0≦ｘ≦π/2でのｇ(x)の最大値で、同じ区間でのｇ(x)の最小値はｘ＝0、π/2でのｅ－1です。
つぎに、π/2≦ｘ≦πのときをみます。このときｇ(x)は③の最初の積分になり、おなじように
置換積分して③の右端の式になります。これも増減調べのために微分すると
ｇ’(x)は画像の④のようになり、π/2≦ｘ≦πではcosx≦0、sinｘ≧0なので
この区間ではｇ’(x)≦0、したがってｇ(x)はπ/2≦ｘ≦πでは単調減少、したがって
この区間ではｇ(x)の最大値はｘ＝π/2でｅ－1、最小値はｘ＝πで　－(ｅ－1)です。

結局、0≦ｘ≦π全体ではｇ(x)は、
ｘ＝π/4で最大値Ｍ＝2(e^(1/√2)－1)、ｘ＝πで最小値ｍ＝－(ｅ－1)となります。

この回答へのお礼

とても丁寧に回答していただき誠にありがとうございます。大変失礼なことだと重々承知ですが、理解能力の低い私のために、幾つか質問にお答えしていただけませんか？質問は2つありまして、1つ目がu=sin(t-x),u=-sin(t-x)とおいていますが、違うものを同じ文字で置き換えてもいいのでしょうか？2つ目は、cos|t-x|の絶対値を外す時、どちらの場合分けにおいても負にならないらしいのですが、どうしてそれが分かるのですか？場合分けの2つ目の範囲だとcos(t-x)が負になり得るのではないかと思ったのですが…。本当に申し訳ありませんが、どうかこの質問にお答えください。お願いします。

お礼日時：2016/11/19 19:21

No.1 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/11/18 19:52

普通に計算するだけの問題で, 私は実際に解いてみましたが, 一箇所を除けば何の工夫も必要ありません.

被積分関数に x が現れているので, 気分的に解きづらいだけではありませんか.
だとしたら, 問題の中の x をすべて a に替えて, t をすべて x に替えてみたらどうでしょうか.
平凡な置換積分で解決します.