数学の乗数で、マイナス乗が腑に落ちません

数学の乗数で、マイナス乗が腑に落ちません。

例えば、

2のー３乗は、1/8になると思うのですが、

この原理を単純な暗記と捉えて、暗記することはできるのですが、ただ、

そもそもなぜ、マイナス乗すると、分子と分母が逆になるのでしょうか？

No.1 回答者： soraoniji 回答日時： 2016/11/19 09:43

２＾２＝２×２

２＾３＝２×２×２＝２＾２×２
２＾４＝２＾３×２・・・と２をかけると指数が一つ増えます。

逆に、２＾３＝２×２×２×２÷２＝２＾４÷２
２＾２＝２×２×２÷２＝２＾３÷２・・・と２で割ると指数が一つ減ります。

この割り算を更に進めて、更に指数を一つずつ減らしていきます。
２＾１＝２＾２÷２＝2
２＾０＝２＾１÷２＝２÷２＝１
２＾（-1）＝２＾０÷２＝１÷２＝1/2
２＾（-2）＝２＾（-1）÷２＝1/2÷２＝1/2×1/2＝1/４
２＾（-3）＝２＾（-2）÷２＝1/4÷２＝1/4×1/2＝1/8・・・
でどうでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2016/11/22 13:35

No.2 回答者： daaa- 回答日時： 2016/11/19 09:43

http://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m1205.html

No.3 ベストアンサー 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2016/11/19 09:49

はは、暗記じゃないよ。

数学は

ちゃんと基礎からきちんと理解しておかないと
(小学２年生)
　ある数を繰り返し足し続けるときは掛け算にする
　2 + 2 + 2 + 2 = 2 × 4
(中学１年生)
　数と演算を区別する。
　　すなわち引き算、割り算はそれぞれ足し算、掛け算と考える。
　　　2-3、2÷3ではなく、(+2) + (-3)、(+2)×(1/3)とする。
　　これによって、交換・分配・結合が未知数を含めて自在に計算できる。
　　　2-3≠3-2だけど、(+2) + (-3)＝(-3) + (+2)
　累乗とは、同じ数を掛け続けること
　　　2×2×2×2 = 2⁴
　　　a×a×a・・×a = aⁿ
　　　￣￣￣n回￣￣
　累乗の意味から
　　a×a×a × a×a =
　　　a³　　×　a² = a⁽³⁺²) = a⁵

　もうわかるね。
　　　a⁴ ÷ a² は、a⁴ × 1/a² のことだったので、
　　a⁴/a² = a²
　　a×a×a×a ÷ a×a =
　　　a⁴　　　／　a² = a⁽⁴⁻²) = a²

＞マイナス乗すると、分子と分母が逆になるのでしょうか？
　そうではない。中学一年の最初に、「割り算はその逆数をかけること」と学んだはず。
　a^(m) × a^(n) = a^(m+n)
　　m,nが正だろうが負だろうが、成り立つように引き算、割り算を忘れろと言われたはず。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2016/11/22 13:35

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2016/11/19 09:53

なぜって、これは定義です。

つまり約束事です。
負の指数をこう決めておくと、指数法則が指数が負の場合にもなりたつので、
（これ、重要です！）
いろいろと便利だからです、はい（＾_＾）。

No.5 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/11/19 10:26

３²÷３³＝３^（-1）

３²/３³=約分すれば、１/3^1=1/3
底が同じ指数を含む数字同士の割り算は指数の引き算になる。
指数がマイナス数値＝その数値になる指数同士の割り算を分数にして約分した結果。

No.6 回答者： kabotya636 回答日時： 2016/11/19 10:27

2^3とは、（２倍する行為）を３回すると理解しましょう。

だから2^10とは（２倍する行為）を10回した物。
2^(-3)とは（２倍する行為）の逆を３回すると解釈します。
そう考えてやってると、自然に（1/2倍）を３回と考えられます。
もう一つ大事なことが２^０=１であること。
（基準である1）に（2倍する行為）を０回やると解釈できる事が必須です。
足し算引き算の基準は０ですが、乗数での基準は１なのですから。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2016/11/22 13:45

No.7 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/11/19 11:36

指数演算上の取り決め（約束事）なんです。

例えば2³÷2²は、(2×2×2)÷(2×2)となり、分数で書くと
(2×2×2)/(2×2)。
分子と分子の2が約分できて、分子の2が１だけが残って、答えは2。

つまり、2³÷2² = 2³⁻² = 2¹ = 2。指数の3-2を計算した結果を指数すれば良いとわかります。
a˟÷aⁿ = a˟⁻ⁿ が指数の割り算法則です。

で、それをそのまま使うと、a˟÷a˟ = a˟⁻˟=a⁰ と成ってしまう。
同じ物を同じ物で割るのだから、a˟÷a˟=1
ならば、a⁰=1と約束してしまえば、a˟⁻˟=a⁰=1となって、どんなxについても成り立ちます。
2³÷2³ = 2³⁻³ = 2⁰=1　で上手く行きます。

ではa˟÷aⁿでx<n　の場合はどうするか？です。
2²÷2³だと　2²⁻³ = 2⁻¹ と成ってしまう。
これも基本に戻って分数で書くと2²÷2³=(2×2)/(2×2×2)。
分母分子を約分すると分母に2が残り分母や全部約されて1になる。
だから、2⁻¹=1/2¹ と約束すれば上手く行きます。
なので、a⁻˟ = 1/a˟ と約束します。

これによって、a˟÷aⁿ = a˟⁻ⁿ の指数の割り算法則がマイナスや０を含めた整数の範囲内で使えるようになります。

a⁰=1、a⁻˟ = 1/a˟は理論を綺麗にするための約束事なんです。

2のー３乗はこれ等の約束事によって1/2³ = 1/8　と成ります。
あくまで数学論理を綺麗にする為の約束ですよ！

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2016/11/22 13:45

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/11/19 21:06

決め事ですからね。

都合が良いとか美しいとかが
理由です。

まだまだ、0乗とか、(2/3)乗とか複素べきとか、最初の定義を
遥かに越えた拡張がなされてます(^-^;

No.9 回答者： Witschie 回答日時： 2016/11/21 23:47

ー３　　ー２　　ー１　０　１　２　３

　１／８　１／４　１／２　１　２　４　８

No.10 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/11/22 11:21

ちょっと、いじ悪になりますが。

＞マイナス乗すると、分子と分母が逆
結果だけほしがる人の考え方。
分子と分母が逆？、別に逆にはなっていません、２³なら８、なら8/1と表せば分子には違いないが、その考え自体が間違いです。
指数の考え方、＝底が同じなら、割り算は指数の引き算になる、結果指数がマイナスになった場合。
指数を含まない、元の数に戻せば、割り算（分数）になり、必然的にそうなるだけです。
この場合だけの約束ではなく、指数の法則を拡大して考えると必然の結果なんです。