数学３の微積分の問題で質問

y = e^xとy = e^(nx)-1 (nは２以上の自然数)
この２つの交点は第一象限にひとつだけあることを示せ

という問題で、
f(x) = e^(nx)-1 - e^xとおく。
f'(x) = (e^x)(ne^(n-1)x - 1)
f'(x)=0とおくと、x = {1/(n-1)}log(1/n) = αとおく。1/(n-1)>0かつlog(1/n)<0よりα<0(ア)
x<αにおいてはf(x)は単調減少
x≧αにおいてはf(x)は単調増加

lim[x→-∞]f(x)=-1
f(α) = (1/n)^(n/(n-1)) - (1/n)^(1/(n-1)) - 1 <0
(0<1/n <1より(1/n)^(n/(n-1)) < (1/n)^(1/(n-1)))
x<αにおいてはf(x)は単調減少で連続あるから、x<αにおいてf(x) = 0を満たすxは存在しない。
f(0) = -1（イ）
lim[x→∞]f(x) =∞（ウ）
x≧αにおいてはf(x)は単調増加であり、（ア）（イ）（ウ）からf(x) = 0を満たすxはx>0にひとつだけ存在する。（そのときのxをβとする）
y = e^xからy=e^β>e^0=1より交点の(β、e^β)は第一象限にある（qed）

何か間違いがありますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2016/12/03 16:51

だいたいあってはいますが、二三、気になるところがあります。

x<αにおいてはf(x)は単調減少で、lim[x→-∞]f(x)=-1、
じつはこれだけで、（連続性をぬきにして）
x<αにおいて、f(x)≦-1がでてくるのです。というのは、もしあるｘ₀＜αにおいてf(x₀)＞-1ならば
単調減少からx<ｘ₀のときf(x)＞f(x₀)＞-1となりｘをいくら小さくしてもf(x)はf(x₀)と-1の間の
値が取れずf(x)は-1に近づけない、つまりlim[x→-∞]f(x)=-1に反するのです。
ということで、x<αにおいてf(x)≦-1なのでx<αにおいてf(x)≠0です。

f(x) = 0を満たすxはx>0にひとつだけ存在する
これは中間地の定理をつかうので、連続性も必要になります。

あと e^xはすべてのｘで＞0なので、交点の(β、e^β)は第一象限にある、は
β＞0とe^β＞0だけで出てきます。

この回答へのお礼

丁寧にどうもありがとう！！！
本当に本当にありがとう！！！！！！！！！！！
(´▽｀)ｱﾘｶﾞﾄ!

お礼日時：2016/12/03 22:46