正規分布 確率計算

ある集団の体重の分布は、平均値60㎏、分散8²㎏に従う正規分布である。
このとき、無作為に抽出した２人の体重差が4㎏を超える確率を求めるにはどうすればよいですか？
正規分布について、正規化することや標準正規分布の読み取は出来ます。

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2016/12/14 01:17

分散の加法性の問題です。

x1もx2もN(60，8^2)に従いますので、
x1－x2は分散の加法性により、N(0，128)に従います。

このとき、差が4を超えるのは、4／√128・σ外の時だから、
それを計算して、±0.3535σ
この両側裾野確率は0.7236736

一瞬、ドキっとする問題ですが、冷静に考えれば、
テキストに出てくる練習問題と同じです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
補足質問よろしいですか？
この両側裾原確率0.7236736が４ｋｇを超える確率ですか？
感覚的に、４キロを超える確率が０.72...というのは高すぎるような気もするのですが。

お礼日時：2016/12/14 18:31

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/12/14 22:34

分散 8² ということは、標準偏差が 8 (kg) ということはよいですね？

2人の体重差 (X1 - X2) の分布は、X1、X2 の各々が N(60, 8²) に従うので
　平均値 = 60 - 60 = 0
　分散：σ² = 8² + 8² = 128
ということになります。この場合の標準偏差は
　σ = √128 ≒ 11.3 (kg)　　←要するに 8 (kg) * √2
になります。

従って、 体重差 4 kg は
　　4/ 11.3 ≒ 0.354σ
ということになります。

ということで、N(0, 11.3²) で分布する「体重差」が 0 ± 4 kg (平均値 ± 0.354σ ) の外側になる確率を求めればよいのです。

この確率は、標準正規分布表から（例えば下記）から、Z=0.35 を読み取って「0.3632」、Z=0.36なら 「0.3594」。
これが「片側確率」なので、「両側確率」は、おおよそ
　　0.36 * 2 = 0.72
ということです。

標準正規分布表
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html

＞感覚的に、４キロを超える確率が０.72...というのは高すぎるような気もするのですが。

　どのような根拠でそう考えるのですか？
　そもそもが N(60, 8²) で分布しているので、体重差が確実に 4 kg 以下というのは平均値付近で見れば、2人とも
　60 ± 2 kg
ということなので、これが
　平均値 ± (1/4)σ
であることから、この範囲に入るのは 0.2 程度の確率です。なので、体重差が 4 kg を越える確率が 0.72 というのは、それほど違和感はないように思います。

この回答へのお礼

詳細なご説明ありがとうございます。
良く分かりました。

お礼日時：2016/12/15 06:32

No.3 ベストアンサー 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2016/12/15 01:28

#1です。

＞感覚的に、４キロを超える確率が０.72...というのは高すぎるような気もするのですが。

について、２つの説明をします。

①モンテカルロ・シミュレーション
N(60,8^2)に従う正規乱数を2個作って、
それらの差の絶対値が4を超えたらカウントするという操作を
10万回繰り返し、全体に占める割合を算出しました。
以下は、Rというフリーの統計ソフトのスクリプトです。

counter <- 0
iterate <- 0
while(iterate < 100000){
x1 <- rnorm(1,60,8)
x2 <- rnorm(1,60,8)
counter <- counter + ifelse(abs(x1 - x2) > 4,1,0)
iterate <- iterate + 1
}
counter / iterate

結果は、 0.72165 でした。
前にお示しした計算値に近い値になりました。

②正規分布に従う無作為標本のレンジ(範囲)Rの期待値
n個の無作為標本の範囲はどんな値になるか。
品質管理には、次のような式があります。
σ＝R／d2
n＝2のとき、d2≒1.12838
σ＝8 なので、よって、R＝8×1.12838＝9.02704
つまり、σ＝8の集団から得られるn＝2の標本は、
平均的には約9の範囲があるのです。
4以上の開きが出るのは、違和感が無いというより、
むしろ当然なのです。

この回答へのお礼

再度の質問にも丁寧に答えていただき感謝します。
良く分かりました。ありがとうございました。
もう少し基本的なことから学びなおします。

お礼日時：2016/12/15 06:33