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今、環の準同型定理で詰まっています。
これはどういうことを表しているのですか?
また証明も知りたいです

質問者からの補足コメント

  • 環の定義が複数あるとは知りませんでした。すいません。
    定義
    集合Rが環であるとは
    加法と乗法に対して次の性質を満たす集合のこと
    A 加法と乗法について閉じている

    B加法についてアーベル群をなす

    C乗法について結合則を満たす

    D分配法則が成り立つ

    次に写像fを可換環(加法と乗法に対して可換な環)RからR’への写像とした時これが準同型写像であるとは任意のx、y∈Rに対して次の性質が成り立つことをいう

    E f(xy)=f(x)f(y)
    F f(x+y)=f(x)+f(y)
    G f(1)=1 ただし1は単位元


    準同型定理
    fを可換環RからR’への準同型写像とする時、
    写像a+ker f →f(a)により
    R/ker f とf(R)が同型となる

    どうもR/ker f のイメージが湧きづらく定理のイメージがつかめません

    今、代数的整数論の本を読んでいてでてきました

      補足日時:2016/12/17 22:19

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A 回答 (8件)

以下は私の考えを私のことばで書いたものである。

きちんと本で確認し、自分で考えを深めてね。


【環の準同型定理とは何ぞや】

R/ker f と f(R) が、自然な対応で加法群として同型になっている。環同型でも見えてるものは同じである。

なのでまず、R/ker f に乗法が入ることを示す。f(R) の方は自明である。
R/ker f の乗法は R から引き継がれる。
剰余類どうしの乗法は、ひとつの類の任意の元にもうひとつの類の任意の元をかけると、そのどれもがただ一つの類に収まることで決まる。
そのことを示すには、a+ker f=a'+ker f 、b+ker f=b'+ker f ならば ab+ker f=a'b'+ker f を示せばよい。
言い換えると、a-a' , b-b'∈ker f ならば ab-a'b'∈ker f を示せばよい。
これは ab-a'b'=a(b-b')+(a-a')b' と変形すれば示せる。
この乗法は R から自然に入るので、結合則も分配法則も従う。
また、1+ker f は R/ker f の単位元であることも容易に示せる。

次に、写像 F : a+ker f → f(a) が同型写像であることをいう。
これはすでに加法群の同型写像なので、F((a+ker f)(b+ker f))=F(a+ker f)F(b+ker f) 、F(1+ker f)=1' を示せばよい。これは容易だ。


要するに環の準同型定理とは、R/ker f には R から引き継いだ環の代数構造が自然に入って環になり、f(R) もまた R から、折り畳まれながら押し付けられてできた新しい環の構造が R' の中にもともとあった部分環として実現されていて、それらの環の構造はぴったり同じであるということである。
その対応は準同型写像 f から引き起こされる。


【環を加法群と見たときの剰余群に、自然に乗法が入るかどうかについて】

実数体 K 上の多項式環 K[x] において、x で生成される部分環は Z[x]x である。一方、x で生成されるイデアルは K[x]x である。イデアルとは、もとの環の元をその元にかけると自身に吸収してしまう部分環のことである。
加法群の剰余群は加法群であるが、それに乗法が入るかどうかを確かめてみる。
K[x]/Z[x]x においては、1.7x-0.7x , 10x-x∈Z[x]x に対して 1.7x・10x-0.7x・x∈Z[x]x でないので、自然な乗法が入らない。
一方、K[x]/K[x]x においては、p-q , r-s∈K[x]x ならば pr-qs=(p-q)r+q(r-s)∈K[x]x なので K[x] から乗法を引き継ぐ。

これが、ただの部分環とイデアルの違いである。


【数学地方の方言「つぶす」】

数学を勉強していると、「つぶす」という表現に出会うことがある。同値関係で「割る」とか、代数系をそのイデアルで「割る」とかのことである。
同値類や剰余類は集合族であるが、「つぶす」とは、それらの集合を点のように扱うばかりでなく、構造のあるものにはその構造が衝突することなく折り畳まれて構造を再構築するようにうまくやることである。(私たちはこれを、{偶数、奇数} の演算で感覚的に知っている。偶数や奇数を集合のように扱ったり、そうでなかったり)
特に環準同型 f の ker f など、f によって 0 という1点につぶれ、他の剰余類も1点につぶれるので、まさに点と見なせてわかり易い。さらに、環の構造も、形は変われども引き継がれる。
ker f の話が分かりやすければ、イデアルで割る場合も同様である。
なぜなら、R のイデアルを I とするとき、自然な準同型 f : R → R/I に準同型定理を当てはめれば ker f = I となるからである。
イデアルで割ることも、イデアルにまつわるものを 0 につぶすことなのである。

つぶしてやると、ときにはオリジナルにはなかった構造が再構築されることがある。
可換にしたり、0 以外の零因子を生み出したり消したり、閉じてないものを閉じたりなどである。


===
伝えたいことを言葉を替えて何度か書いて冗長になった。
さりげなくだじゃれを差し込めて満足だ。
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No.7 だけど、数学用語を正しく使っていなかった。



加法群と書いているところ、これは、「加法についての群」であった。
加法群だと R-加群になってしまうようだ。

あと付けで申し訳ない。

読み返して残念な文章なので全部書き直したい・・・できないわけだが。
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Z:整数の全体


R:{0,1,2}個の3個の整数からなる集合に四則演算を、
  普通に計算した結果をみて、3で割ったときのあまりを考えてその余りを計算の答えとする。
  たとえば、
  2+2=4=3*1+1 よって4を3で割った余りは1なので
  2+2=1 とする。
  この結果、0が加法単位元、1が乗法単位元で可換な環となる。
  体というべきだろうがこの際は勘弁してください。
f:Z→R
を次のようにきめる。
c(整数)のとき、f(c)はcを3で割った余りとする。
すると、
f(5)=2、f(7)=1
f(5+7)=f(12)=0
f(5)+f(7)=2+1=3=0
となって
f(5+7)=f(5)+f(7)
が成立する。
このとき,Zは次の3つのグループに分かれる
{...,-3,0,3,6,...}
{...,-5,-2,1,4、7...}
{...,-4,-1,2,5,...}
最初のグループは、fで移すと0になる。
次のグループは、fで移すと1になる。
最後のグループは、fで移すと2になる。
最初のグループがfのカーネル。
3つのグループはこのカーネルによる類別(グループ分け)となっている。
したがって、この類を一つの塊と考えて計算を決めてゆくのだが、
各グループから代表を勝手に取って計算した結果、
代表の選び方によらずに結果がきちんと決まることが大切。
たとえば、5は第3のグループに入っていて、7は第2のグループに入っている。
f(5)+f(7)=2+1=3=0
これは、0が第1のグループに入っているので、
第2グループと第3グループの足し算は第1グループになる。
といっているのです。
5や7の代わりに、
-4や-2をとって計算しても第1グループになるというのが
上手く定義されている
という言葉の意味です。

{...,-3,0,3,6,...} → 0
{...,-5,-2,1,4、7...} → 1
{...,-4,-1,2,5,...} → 2
とすれば、グループ(fのカーネルによる剰余類)とRの元は上手く対応する。
これは、計算はグループを(0)(1)(2)などで表せば
(1)+(2)=(0)(剰余類での計算)
1+2=0 (Rでの計算)
となるので、どちらの計算もほとんど同じ(同型)になる。

疲れたのでこの辺で。

あきらめないで頑張ってください。
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ANo.4 に対するお礼を読みました.


おそらく, もう少し基本を学んでからでないと, 環の準同型定理を理解するのは難しいでしょう.
代数的整数論を学び始めるのは, 可換環論を十分に勉強した後でも遅くありません.

環と部分環の定義は, もしかしたら理解できているのかもしれません.
けれど, イデアルの定義は, きちんと分かっているのでしょうか.
Ker(f) が R のイデアルになる理由を, 貴方が完全に理解している可能性は, あまり高くないと感じました.
証明を簡略に済ます場合でも, 要点まで省略するのは不適切です.

ある定義が well-defined である, という表現を見聞きしたのは, 今回が初めてでしょうか.
R/Ker(f) のイメージが湧きづらいと仰っていますが, 同値関係の知識はありますか.
商集合, 同値類, 代表元, などが理解できていれば, 写像 g の定義に欠陥が無いかどうか, すぐに調べたくなるはずです.

g が全単射な準同型写像であることを示し, さらに念入りに g の逆写像も準同型写像であることを示せば, 準同型定理の証明は終了です.
ですが, ANo.4 の (1), (2), (3) について, もっと詳しい説明(証明)を書いていただけないと, これ以上は先へ進めません.
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合同式, ですか.


うーん, 悪くはないのですが...
以後, 乗法の単位元を持つ可換環を, 単に環と呼ぶこととします.

f を環 R から環 R' への準同型写像として, R/Ker(f) から Im(f) = f(R) への写像 g を
g([a]) = f(a), ただし [a] := a + Ker(f), で定義します.
まずは準備として, 以下の (1), (2), (3) を証明できますか.
(1) Ker(f) は R のイデアルになる
(2) Im(f) = f(R) は R' の部分環になる
(3) 写像 g は well-defined である

取りあえずこの部分をクリアしないと, 先に進めないのですが...
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この回答へのお礼

(1)f(a+b)=f(a)+f(b)
f(ab)=f(a)f(b)より示される
(2)まずIm(f)で演算が閉じていることをいう。
(1)と同様に分かる。
加法の単位元はf(0)
乗法の単位元はf(1)
(3)はわかりません

お礼日時:2016/12/18 00:27

あっと...


わずか 1 分の差ですが, 入れ違いになってしまいました.
たくさん書かせてしまって, 申し訳ありませんでした.

>次に写像fを可換環(加法と乗法に対して可換な環)RからR’への写像とした時
非可換環であっても, 加法に関しては, 可換であることが要求されます.
よって, 可換環とは「乗法に関して可換」という意味です.

>G f(1)=1 ただし1は単位元
これは, R と R' が乗法の単位元を持つことを前提としているので,
貴方の本でいう可換環とは, 乗法の単位元を持つ可換環と解釈できます.

>どうもR/ker f のイメージが湧きづらく定理のイメージがつかめません
イメージが湧かないのは, R/Ker(f) の場合だけですか.
一般に, 可換環 R とそのイデアル A が与えられたとき, 剰余環 R/A をイメージできますか.
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この回答へのお礼

いえいえありがとうございます
R/Aのときは合同式のようなものをイメージしています

お礼日時:2016/12/17 22:54

ANo.1 で書いた


> 環の定義と準同型写像の定義を述べてください
についてですが, 全部書くのは大変でしょうから, 2 点だけ明確にしてください.

環の定義では, 乗法に関して, 以下の 4 つのうち, 最低限どれを要求するのか.
半群, モノイド, 可換半群, 可換モノイド

上でモノイドか可換モノイドを選んだ場合,
環 A から環 B への準同型写像 f に, f(1) = 1 であること要求するのかどうか.
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説明すると, 長くなるかもしれません.


少しでも短く済ませるために, まず貴方がどこで詰まっているのかを書いてください.
それと, 最初に環の定義と準同型写像の定義を述べてください(複数の流儀がありますので).
定理の証明そのものは, とても簡単です.
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Q環の準同型写像について

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写像Φ:R→R'が任意のRの元x,yに対して

Φ(x+y)=Φ(x)Φ(y)
Φ(xy)=Φ(x)Φ(y)

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出来ればΦが全単射になるもの,すなわちRとR'が環として同型となるようなものを教えていただけると助かります.

これが分からないために上手い例を考えられず困っています.

詳しい方よろしくお願いします.

Aベストアンサー

具体例です。

2つの環R,R'を
R={0,1,2,3,4,5}で,mod 6 の加法,乗法とし,
R'={0,1,2}で,mod 3 の加法,乗法とする。

f:R→R'

0→0
3→0
1→1
4→1
2→2
5→2
とする。fは準同型写像。

R の類 A={0,3},B={1,4},C={2,5}で,E={A,B,C}とする。

φ:E→R'
A→0
B→1
C→2

このように定めると,φはEからR'への同型写像となります。

Q同型とは?

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とか
『体Cの同型で部分体Rの元を動かさないものはα→α(つまりなにも動かさぬ同型)とこの共役に限る』
とあるんですが、『同型』という言葉の定義について何も書いてありません。

同型とはなんですか?

Aベストアンサー

2つの体KとLが同型というのは、
KとLが同じ構造をしている
ということで、ぶっちゃけた話
KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ
ということです。
(これは私の同型というものに対するイメージです。)

厳密には、
2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある
というもので、同型写像とは
全単射な準同型写像
のことです。
KからLへの準同型写像とは
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

例を1つ。
R^2={(x,y)| x,yは実数}と複素数体Cは同型です。
R^2からCへの写像fを
f(x,y)=x+iy (iは虚数単位)
と定めるとfは同型写像になるからです。
R^2とCは同型なのですから
R^2とCはほとんど同じものだと考えてよいことになります。

また、自分から自分への(つまりCからCとか)の同型写像を
自己同型写像、あるいは略して自己同型といいます。
f(x+iy)=x-iy というある複素数をその共役に写すという写像fは
自己同型写像になりますよ、というのが
>『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
の述べていることです。

詳しく知りたいのでしたら代数学の本をひもとく必要がありますが、
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QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

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ベクトルxは、
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という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
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 b=Ax
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すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
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Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
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Q同型写像の証明問題

問題)f:R^n→R^nを同型写像とする。このとき、fの逆写像も同型写像となることを証明せよ。

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そもそも「ベクトル空間の同型写像」というのを
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まあ,実際は
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任意のベクトルx,y,任意のスカラーk,lに対して,
あるベクトルa,bが存在して
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ka+lb=f(kx+ly),よって,
f^{-1}(ka+lb)=kx+ly=kf^{-1}(a)+lf^{-1}(b)
よって,f^{-1}も線型

Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Qwell-definedについて

ある問題集に以下のことが書かれていました。
「整数aのmを法とする剰余類は
[a]={x|x≡a(mod m)}とする。
また、Z/mZ={[x]m|x∈Z}とする。
a,b∈Z、剰余類に加法+を定義する:
[a]+[b]=[a+b]
これは代表元の選び方に依存しない。
すなわち演算+はwell-definedである。」

ここで何故「これは代表元の選び方に依存しない。
すなわち演算+はwell-definedである。」
といえるのですか?
よく意味が分かりません。教えてください。

Aベストアンサー

商空間に演算を入れるときはいつでもwell-definedを証明しなくてはなりません。やさしいので出来れば自力でやっていただきたいですが、おそらく初めてのことだろうと思うので、一例です。参考にしてみてください。

今、ある代表元、a,bを取ってきて、[a]+[b]を[a+b]で定義します。
そして別の代表元a'、b'を取ってきて[a'+b']を計算したとします。
もし[a+b]=[a'+b']でないのなら、この演算は代表元の取り方に依存したことになりますし、
逆にこれが等しいのであれば、代表元の取り方には依存しないわけです。

さて、(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')です。
いま、aもa'もともに同じ剰余類[a]に属していますから、mで割った余りは等しい。
したがって(a-a')|mです。つまりmで割り切れる。
同様に(b-b')もmで割り切れます。
つまり、(a+b)-(a'+b')はmの倍数なわけです。
したがって、a+bとa'+b'は同じ剰余類に属します。
すなわち[a+b]=[a'+b']という分けです。

これは合同式の演算の正当化でもあります。
x≡y (mod m)
z≡w (mod m)
であれば、
x+z≡y+w (mod m)
というものです。余りだけ見るのだから、
余りが等しいものなら何で計算してって一緒(well-defined!)
というわけですね。

商空間に演算を入れるときはいつでもwell-definedを証明しなくてはなりません。やさしいので出来れば自力でやっていただきたいですが、おそらく初めてのことだろうと思うので、一例です。参考にしてみてください。

今、ある代表元、a,bを取ってきて、[a]+[b]を[a+b]で定義します。
そして別の代表元a'、b'を取ってきて[a'+b']を計算したとします。
もし[a+b]=[a'+b']でないのなら、この演算は代表元の取り方に依存したことになりますし、
逆にこれが等しいのであれば、代表元の取り方には依存しないわけです...続きを読む

Qイデアルの証明がよくわかりません…(/_;)

本を読んでいて,
次の命題を証明したいのですが….

Iを有理整数環Zのイデアルとすると,I=Zaとなる整数aが存在する.

イデアルの考え方も自信がないので,
分かりやすく証明を書いていただけると嬉しいです(T T)

よろしくお願いします!!

Aベストアンサー

だいたい良いので、細かいところだけ

>[i] I={0}=(0)の場合
>これは,どんな整数と0をかけても0になるので,成り立つ.

よろしくありません。
「どんな整数と0をかけても0になる」ので、何が成立しているのかはっり書くべきです。


>[ii]I≠(0)
>この場合を考えるとき,例えばmがイデアルの元であるとすると,
>マイナスをかけた場合もイデアルに含まれることは定義よりわかる.
>よって,これより元が自然数である場合を考えることにする.

微妙にわかってないような気もするけどスルー。


> 逆の場合を考えてみる.Iから任意の元nをとると,
> nは(正の)整数なので, n=aq+r, 0≦r<a をみたす整数q, rが存在する.

n は任意にとったので、正の整数とは限りません。
その後の議論で「正の」整数であることは使用していないことに注意しましょう。

Q一様連続でないの厳密な証明は?

微分積分の期末テストで次の問題が出ました。

次の命題の正誤を答えよ。ただし理由も与えること。

命題:関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続である。

この問題で自分は次のように解答しました。

(証)αを与えられた区間内の任意の要素とし、εを任意の整数とする。

あるδとしてmin.(ε/2|α|+1,1)とする。

このとき|x-α|<δ⇒|f(x)-f(α)|=|x^2-α^2|=|xーα|・|x+

α|<・・・・・(略)<δ(2|α|+1)<ε

となり、故にf(x)=x^2は区間[0,∞)で一様連続でない。(なぜなら、δがε

だけでなくαにも依存するから)

この解答で一応マルはもらえたのですが、はじめにδを上のようにしたものだけを考

えていい理由は何なんですかね?もしかしたらεだけでδを表せるかもしれないの

に。考えてはみてるんですがなかなか納得のいく答えが見つかりません。よかった

ら力になってください。よろいくお願いします。

Aベストアンサー

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の問題(ε-δの応用問題は大体そうです)
を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。
まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∀α∈[a,b) ∃δ>0  ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)
でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。
一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∃δ>0 ∀α∈[a,b) ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)……(1)
となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。
この場合δはεだけに依存します。
そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから
∃ε>0 ∀δ>0 ∃α∈[a,b) ∃x(|x - α| < δ かつ |f(x) - f(α)| ≧ ε)……(2)
となります。(論理式の変形規則についてはご存知でしょうね)

つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に
対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。
これを示しましょう。

ε=1/2とし,任意のδを1つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。
x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件
|x - α| < δ を満たします。しかし
|f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε
ですから一様連続でないことがいえました。          ■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
(1)一応「一様連続でない」という結論はあっているので、
証明も正しいものと勘違いした
(2)実は先生もわかってない(まさかね^^;)
(3)一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
証明を読んで(間違いではあるものの)一様連続性についても
一応は理解しているものと判断して○にした。

というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の...続きを読む

Q部分群であることの証明

部分群であることの証明
Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a~b⇔ab^(-1)∈H」なる~ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群であることを証明してほしいです。

部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、
同値関係の定義については理解しています。

ですが証明文を書くことができず、困っています。


回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません。掛け算した答えは、必ず実数になりますね。

 #無理数も実数だからね。虚数にならなければいい。

ここで二項代数として成立。

単位要素は、「1」ですね。 任意のR0∋c について、

c×1=c 動かないので単位要素だね。

逆要素は、c^(-1)だね。 c×(1/c)=1 単位要素に帰るわけだから。

 #0をどけたのは、これができないから。

例) c=√2 のとき c×c^(-1)=√2/√2 =1

無限に要素があるけど、これはすごく簡明な群なんだけどな・・・。

この場合は数値になるから、Hもとりやすいと思うけれども。

取ってみてくれるかな? そしたら少しつかめると思うけど。


そしてね、どっかでこれ見たことあるなぁ~と思ってました。

「群論への30講」 志賀浩二 著 朝倉出版

この、第八項に同じのがある。

出身が電気工学で、この本で独学したんだ(^^;)

本屋さん(大きな)に行く機会があったら、捜してみて?

もう結構古いから、絶版かもしれないけれど。


代数を専門とされてはいないのかな。ちょっと出てきたと言う感じかな?

群 って言うのをもう少し分かってからのほうがいいのかもしれない問題かもね?

かじるくらいにしては、少し難しいかもしれない。


でもね、例に挙げたのが群だと思って、そこから部分群になるようにHの要素を

持ってきてみて?

それができると、ある程度見晴らしがでてくると思う。

えっと、同値の関係は、それでいいと思いますよ。

「結果的に同じことになった」と前にも書いたかな?

この問題では二つの同値 ~ と ⇔ がでてきているけれど、

両方とも、本来の意味として、結果的に同じになっているで、構いませんよ。

で、例に挙げた群だけど。。

実数全体(0を除く) (以下、R0 と書くことにしますね)と

演算子掛け算 × を持ってくると、群の定義は?

単位要素の存在、逆要素の存在、結合則の成立だよね。

R0の中から、好きな二つを取ってきます。

何でも構いません...続きを読む


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