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ある製品への需要が逆需要関数 P(y) = 5-2y によって与えられている。P(y) は生産量
y の時の価格である。一方、費用関数は C(y) = 2y で表されるとする。この製品を供給する
同質的な企業が2社あり、価格競争を行っているとする。ベルトラン均衡(ナッシュ均衡)
の価格はいくらでしょうか?

この質問について全然わからない。ゆえに具体的なやり方を詳しく省略せずに教えていただきたいです。

A 回答 (4件)

>この質問について全然わからない。

ゆえに具体的なやり方を詳しく省略せずに教えていただきたいです

詳しく説明したつもりだが、これでもわからなかったら、教科書をもういちど開いて、ナッシュ均衡とは何かから勉強しなおしてください。
私の回答のどこがよくわからないというなら、そこを指摘してください。なんの反応もしないというのは回答者にたいして失礼ですよ!
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No1の第1番目の方程式群はくっついていて見にくいかもしれませんので、もう一度書くと、



D1=0   D2 = (5-p2)/2     p1 > p2のとき
D1=(5-p1)/2  D2=0     p1 < p2のとき
D1 = D2 = (5-p1)/4     p1 = p2のとき

です。ナッシュ均衡の定義はNo1に書いた通りですが、この定義は、

戦略の組は、各プレイヤーがその組から自分だけ逸脱しても、自分の利得が増えないとき、ナッシュ均衡である

と言い換えることができる(このように言い換えることができることを確かめなさい)。No1で、この問題のナッシュ均衡は(p1,p2)=(2,2)であると書きましたが、この定義を用いて確かめてみましょう。ナッシュ均衡のもとでの各企業の利潤は Π1=Π2=0であることに注意しよう。
・いま、企業1が自分だけ(p1,p2)=(2,2)から上方へ(たとえば、p1=3のように)戦略を変更してみましょう。すると、企業1の利潤Π1=0となって(なぜ?)、企業1の利得(利潤)は変わらない。
・企業2が自分だけ下方へ(たとえば、p1=1のように)戦略を変更してみる。すると、企業1の利潤はΠ1=(1-2)(5-1)/2=-2と損失に転じ、利潤は減ってしまう。
・よって、(p1,p2)=(2,2)がナッシュ均衡であることが確かめられた。
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訂正



>相手が単位費用5に等しいか、あるいはそれより低い価格に設定するなら、自社は単位価格2に設定する。最後のケースの場合、自社の価格を5より小さい値に設定しても意味がないからだ(なぜ?)。

相手が単位費用2に等しいか、あるいはそれより低い価格に設定するなら、自社は単位価格2に設定する。最後のケースの場合、自社の価格を2より小さい値に設定しても意味がないからだ(なぜ?)。

と直してください。

それから上から4番目の方程式群は

p1 = pM        p2 > pMのとき
p1 = p2 - ε      2 < p2 ≦pMのとき
p1 = 2         p2 ≦ 2のとき

と直してください。
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寡占競争のベルトランゲーム(ベルトラン寡占)とは、各プレイヤー(企業)が価格を戦略として競争するゲーム。

いま二人ゲーム(2社の企業を企業1と企業2と呼ぼう)を考えよう。戦略の組は、各プレイヤーの選択する戦略が互いに相手プレイヤーの最適反応となっているとき、ナッシュ均衡という。いま、企業1が設定する価格をp1、企業2が設定する価格をp2と書くと、両企業が生産する生産物は同質なので、各企業の製品に対する需要Di, i = 1,2は

D1=0   D2 = (5-p2)/2 p1 > p2のとき
D1=(5-p1)/2  D2=0 p1 < p2のとき
D1 = D2 = (5-p1)/4 p1 = p2のとき

となる(なぜ?)。つまり、価格を相手より高く設定すると、市場需要はすべて相手の生産物に行く。価格が同じなら、市場需要は均等に分割される、ということ。企業1の利潤をΠ1と書くと

Π1= (p1 -2)D1
Π2 = (p2 -2)D2

となる(なぜ?)企業1は、企業2の価格p2が与えられたとき、自社の価格p1を自社の利潤Π2を最大にするように設定する。このとき設定されるp1のp2に対する関係を最適反応関数と呼ぶ。この最適反応関数を求めるためには、まず企業2がこの市場の独占生産者だったら、いくらに設定するかを考える。このときの価格を独占価格pMと呼ぶと、独占価格は限界費用=限界収入を満たす価格であることを思い出して

pM =7/2

となることを確かめてください(この市場の限界収入はいくら?各企業の限界費用はいくら?)。これが求まると、企業1の最適反応関数は

p1 = pM p2 > pMのとき
p1 = p2 - ε 2 < p2 < pMのとき
p1 = 5 p2 ≦ 2のとき

となる。ここで、εはゼロにかぎりなく近い正の値。企業1と企業1はまったく同質だから、企業2の最適反応関数も同様(p1とp2を入れ替えればよい)。この最適反応関数の意味は、相手が独占価格より高い価格に設定するなら、自社は独占価格に設定すれば利潤は最大化される(なぜ?)。相手が、独占価格よりは低いが、単位費用2よりは高い価格に設定するなら、それよりもほんのちょっと低い価格に設定すれば、市場はわがものになり、利潤は最大化される。相手が単位費用5に等しいか、あるいはそれより低い価格に設定するなら、自社は単位価格2に設定する。最後のケースの場合、自社の価格を5より小さい値に設定しても意味がないからだ(なぜ?)。
これより、ナッシュ均衡は

(p1,p2) = (2,2)

となる。質問にはないが、このとき各企業の生産量は?、利潤は?消費者余剰は?総余剰は?
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