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NaCl構造、面心立方格子構造の(200)面とはどのような面ですか?

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指数 意味」に関するQ&A: 指数の言葉の意味

A 回答 (1件)

面指数の意味はわかりますか?


単位格子を縦(横でも一緒のはずですが・・・)
半分(←1/2:「2」が示しているもの)に
真っすぐ(他の軸には交わらない:「00」が示しているもの)
切った面です。
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Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

QBragg反射

今、X線を照射して、各角度におけるピークを見つけて、Bragg角を見つける実験をしています。しかし、少し疑問に思う箇所があるので質問させて頂きたい次第です。

KClとKBrのBragg角を見つけているのですが、どちらも同じ結晶構造です。しかし、Bragg Peakにおいて、同じ結晶構造を持つKBrに見られる反射が、なぜKClでは見られないのでしょうか??自分的には同じ結晶構造だからほぼ同じBragg Peakが見られると思っていたのですが…

どなたかこの理由や原理を教えていただけないでしょうか?お願いします。

Aベストアンサー

No.1です。KClとKBrは同じNaCl結晶なので、格子定数の違いを除けば同じ(hkl)指数のピークが観測されるはずですね。

ですが、K^+イオンでの原子散乱因子(原子ごとのX線の散乱強度で、X線の波長や散乱角に依存しますが、とりあえず一つの原子では一定とします。)をf_K、Cl^-イオンの原子散乱因子をf_Clとしますと、Brag Peakにはその強度がf_K+f_Clに対応するピークと|f_K-f_Cl|に対応するピークとがあります。つまりK^+での散乱X線とCl^-での散乱X線とが強めあう場合と弱めあう場合があるということです。

X線がどのように結晶中で散乱されるかといいますと、トムソン散乱と呼ばれる、各原子の電子の電場との相互作用によって散乱されます。そしてその強度は原子のもつ電子の数にほぼ比例します。

K^+イオンとCl^-イオンは電子数がどちらもArと同じ数なので、原子散乱因子f_Kとf_Clはほぼ同じになります。ですので、KClでは強度がf_K+f_Clになるピークのみが観測され、|f_K-f_Cl|に対応するピークはほとんど見えません。

一方KBrでは、Br^-イオンの電子数はKrと同じでK^+イオンとは差があるので、原子散乱因子にも差があります。なので|f_K-f_Br|の強度のピークも観測できます。ですが、KBrの場合でもほぼ一つおきに強いピークと弱いピークが現れていると思います。(たしか)

以上のことは結晶構造因子というのを計算すると(単位格子の原子の並び方さえわかっていれば計算できます)、どの(hkl)指数のピークがどの程度の強度で観測されるかわかるので、ほぼすべて説明できます。

No.1です。KClとKBrは同じNaCl結晶なので、格子定数の違いを除けば同じ(hkl)指数のピークが観測されるはずですね。

ですが、K^+イオンでの原子散乱因子(原子ごとのX線の散乱強度で、X線の波長や散乱角に依存しますが、とりあえず一つの原子では一定とします。)をf_K、Cl^-イオンの原子散乱因子をf_Clとしますと、Brag Peakにはその強度がf_K+f_Clに対応するピークと|f_K-f_Cl|に対応するピークとがあります。つまりK^+での散乱X線とCl^-での散乱X線とが強めあう場合と弱めあう場合があるということです。

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Q格子定数の求め方教えてください!!

こんにちは。
僕は、結晶学を勉強している大学生です。
現在、斜方晶構造の格子定数を算出しようと勉強しているのですが格子定数a, b, cを求める式を作ることができません。ご存知の方教えて教えて下さい。
斜方晶の関係式は以下のようになります。
1/d^2 = h^2/a^2 + k^2/b^2 + l^2/c^2
d, h, k, lの値は既知でa=,b=,c=の式を教えていただきたいです。
また、格子定数を簡単に求められるソフトなどをお知りであれば教えて下さい。
どうかよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

> 格子定数a, b, cを求める式を作ることができません。

これは初等数学の教えるとおり,線形独立な(=異なる面方位の)3つ以上の関係がない限り,どうやっても求まりません。線形独立な式が3つあるなら,三元一次連立方程式を解けばよいだけです。

> 斜方晶の関係式は以下のようになります。

斜方晶だけでなく,正方晶でも立方晶でも成り立ちます。

> 格子定数を簡単に求められるソフト

XRD などのブラッグの回折パターンから格子定数を精密に求めるには,通常,リートベルト解析という計算を行います。RIETAN というソフトが有名です。ただ,大雑把で良くて,点群が分かっていて面指数まで分かっているなら,電卓で十分計算できると思います。

Q格子の面間隔について

お世話になってます立方格子の面間隔について教えていただきたいのですが格子定数がaとしたときミラー指数(110)の面間隔についてですが

面心立方格子はa/2√2、体心立方格子の場合a/√2となりますよね?

面心立方格子がこうなる理由が分からないです。

これはxyzの座標軸を取った時に真上から見るとx=y=a/2となるところに原子が存在するということでこのような長さになるのでしょうか?
それともこの考え方ではおかしいのでしょうか。
だとすると体心立方と面心立方各々の(111)での面間隔はどのようになるのでしょうか?

分かりにくい日本語になってしまいましたが、どなたか教えてください。
お願いしますm(__)m

Aベストアンサー

回答2の回答者です。

> 結晶の全体構造をとらえるためには「単位構造」で考えた方がよいが、面間隔などを求めるためには「最小単位構造」で考えた方がよいということなのでしょうか?

基本単位構造の作り方はいくつも有りますし、たいていの場合には分かりにくい形になるので、必ずしもお勧めでは無いですが。何故、単位構造の基本面間隔が本当の面間隔にならないのか?という理解の1方法と思います。

> もう一つ分からないことがあるのですが、面心立方(100)の間には(200)面が存在するとのことですけど(100)面の間には(1/2 00)面があるように思えるのですがどうして(1/2 0 0 )ではなく(2 0 0 )と表せるのでしょうか?

ミラー指数(h,k,l)の定義は、それぞれの座標軸の単位格子位置の1/h,1/k,1/lの切片を含む面であることを忘れていませんか?つまり、面指数の場合には、数字が大きい方が原点に近い面になります。格子位置を表す方向ベクトルの指数とは大小関係が逆になりますので、注意してください。
なぜ、こういう変な指数定義をするかというと、この先に結晶構造やそれに関連した物理現象を考えていくのには、結晶の格子or面間隔よりもその逆数を使うことの方が圧倒的に多いからです。それで、結晶構造解析などでは、格子位置の逆数を使った「逆格子空間」というものを頻繁に使います。この逆格子空間ではミラー指数の定義が便利なわけです。

回答2の回答者です。

> 結晶の全体構造をとらえるためには「単位構造」で考えた方がよいが、面間隔などを求めるためには「最小単位構造」で考えた方がよいということなのでしょうか?

基本単位構造の作り方はいくつも有りますし、たいていの場合には分かりにくい形になるので、必ずしもお勧めでは無いですが。何故、単位構造の基本面間隔が本当の面間隔にならないのか?という理解の1方法と思います。

> もう一つ分からないことがあるのですが、面心立方(100)の間には(200)面が存在するとの...続きを読む

Qブラッグの式で使われるn次反射について

ブラッグの式で使われるn次反射についてお聞きしたいのですが、
nは1からあるようなのですが、いまいちn次反射についてわかりません。
n次反射について詳しく教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

ブラックの反射式は
2d sin θ=nλ
(d:面間隔,θ:入射角,λ:波長)
ですね。
nは2d sinθが波長(λ)何個分に相当するかを示した数値です。そのままですね。
あるθ1とθ2で反射ピークを観測したとします。
その時、2d sin θ1=λ、2d sin θ2=2λ
を満たすとき、θ2に現れた反射ピークはθ1で観測した反射ピークの2次反射であるといいます。
高次反射は必ず発生しますが、nが大きくなればなるほど広角になるので反射強度が弱くなり観測が難しくなります。

余談ですが、このn値は逆格子上の指数?(h,k,lの最小公倍数の倍数)と一致します。X線主体の本はこれで説明することが多いようですが、実格子と逆格子を併用してイメージするのはかなり難しいと思います。逆格子は解析するには便利なツールですが、これで現象を理解する事はかなり難しいと思います。

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

Q円筒座標系でのナブラ、ラプラシアン

流体力学のナビエ・ストークス方程式を
勉強しています。

途中で、円筒座標系における
ナブラ∇、およびラプラシアンΔ
が出てきて、
∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)
Δ=∂^2/∂r^2 + ∂/r∂r + ∂^2/(r^2∂θ^2) + ∂^2/∂z^2
となっています。
なぜ、変なところでrで割り算したり、
ラプラシアンの項が四つになったりしているのでしょうか。
どなたか分かる方、教えていただきたいです。

Aベストアンサー

 
 
 円筒(または円柱)座標ですね;

  x → r  長さ→長さ
  y → θ 長さ→角度
  z → z  長さ→長さ

 時計の針がちょっと回転したとき、先端の動きは 針の長さ方向と直交してますね。x と y のように。
針の長さを r、ちょっとの回転角度を dθ とすれば
先端の動きは r dθ です。
dr を dx だとすれば、それに直交する dy は r dθです、
つまり、
  ∇=(∂/∂x, ∂/∂y,   ∂/∂z)
  ∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)


 △の方は、(r^2∂θ^2) が dy^2 だと気付いて欲しいんですが、微分の基本の公式
  (fg)' = f'g + fg'
で、項を増やしたあとのようですね。
ご自分で確認してください。
 
 

Q水の標準蒸発エンタルピー

H2O(l)→H2O(g)のとき
標準蒸発エンタルピーΔvapH゜(373K)=+40.66kJ/molとでますが
どの文献を調べても計算方法が載っていませんでした。
どのように計算すれば標準蒸発エンタルピーを求めることができるのでしょうか
またΔvapH゜(373K)の(  )内の温度が473K、はたまた1273Kでも計算できるのでしょうか
よろしくお願いします

Aベストアンサー

水の標準蒸発エントロピーの計算方法はClausius-Clapeyronの式で求めることができます。ln(P/P0)=-(ΔHv/R)(1/T)+(ΔSv/R)がClausius-Clapeyronの式です。まず、さまざまな圧力Pにおける沸点Tのデータ5個ぐらいを文献で調べます。(水なら化学便覧に載っています)これをExcelを用いて、PとTをそれぞれln(P/P0)と(1/T)にします。P0は大気圧で、Pの単位と同じにします。(1atm=760mmHg=1.01315×10^5Pa=760Torr(正確に))次に、ln(P/P0)を縦軸に、(1/T)を横軸にとり、プロットします。(excelでは図の挿入)そうすると、一次関数が得られると思うので、その傾きからΔHvが、切片からΔSvを求めることができます。

また、H=H(P,T)、つまりエンタルピーは圧力と温度の関数です。標準エンタルピーはH0=H(1atm,T)と定義されています。すなわちΔvapH0は(1気圧における)標準蒸発エンタルピーということを表しています。1気圧における水の沸点は約100度なので、かっこ内に、373と書いてあるのです。そのため473K,1273Kとなる場合はないです。

水の標準蒸発エントロピーの計算方法はClausius-Clapeyronの式で求めることができます。ln(P/P0)=-(ΔHv/R)(1/T)+(ΔSv/R)がClausius-Clapeyronの式です。まず、さまざまな圧力Pにおける沸点Tのデータ5個ぐらいを文献で調べます。(水なら化学便覧に載っています)これをExcelを用いて、PとTをそれぞれln(P/P0)と(1/T)にします。P0は大気圧で、Pの単位と同じにします。(1atm=760mmHg=1.01315×10^5Pa=760Torr(正確に))次に、ln(P/P0)を縦軸に、(1/T)を横軸にとり、プロットします。(excelでは図の挿入)そうする...続きを読む


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