因数分解 x^6+x^3+1の答えは (x^3+x^2+1)(x^3-x+1)と (x^3+x+1)

因数分解

x^6+x^3+1の答えは
(x^3+x^2+1)(x^3-x+1)と (x^3+x+1)(x^3-x^2+1)
になりますか？

No.6 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2017/01/09 16:17

どうせなら、もう少し丁寧に解いてあげましょうね。

既出の通り質問の答えはNoです。展開してみれば一目瞭然です。

与式をよく見ると、
(x^9-1)/(x^3-1)
と変形できることがわかります。これが意味していることは、与式=0 の解は x^9=1 の解のうち x^3=1 の解と被るものを除いたものであるということです。この時、虚数解も含めて考えます。

複素平面上で単位円の周りをグルグル回して考えると、x^9=1 の解は、
cosθ+isinθ
{θ=n×40° , n=-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
となることが解ります。
同様に、x^3=1 の解は、
cosθ+isinθ
{θ=n×120°, n=-1, 0, 1}
となります。
ここで被りを除いた、
cosθ+isinθ
{θ=+-160°, +-80°, +-40°}
が 与式=0 の解ということになります。
θにはそれぞれ対になる+-の値を含んでいるので、3組の共役複素数となることが解ります。従って、これらを解とする3つの2次方程式を掛け合わせた
(x^2-2xcos40°+1)(x^2-2xcos80°+1)(x^2-2xcos160°+1) //
が実係数の因数分解の答えとなります。
cos40° は正確な値を求められないのでこれ以上は無理ですね。

No.5 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/01/08 07:39

なるほど, x^6 + x^3 + 1 の根は, 1 の原始 9 乗根ですね.

互いに共役な複素数の組が 3 つ作れて, 因数分解も終了ですか.
そこまで考えが及びませんでした.
x^3 = X とおくアイデアを, 過小評価していたようです.

質問者様は, 答えが複数ある因数分解の問題を, これまで見たことがありますか.
(x - y)(y - z)(z - x) と -(x - y)(y - z)(x - z), どちらも正解だ, みたいな例は除外するとして.
一意分解整域 A 上の多項式環 A[x], A[x, y], A[x, y, z] などは, やはり一意分解整域です.
今回の質問のように, 答えが 2 つあるかも, と思った場合, 少なくとも一方は不正解です.

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/01/08 00:13

実数の範囲なら

x^6+x^3+1 = (x^2+αx+1)(x^2+βx+1)(x^2+γx+1)
と因数分解できますな＞#1.

そして, この α, β, γ は有理数ではないので, 結果的に x^6+x^3+1 は有理数係数の範囲で既約＞#2.

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/01/06 21:58

(x³+x²+1)(x³-x+1)を展開すると一目x⁵、x⁴の項が出て来る

(x³+x+1)(x³-x²+1)も展開すると一目x⁵、x⁴の項が出て来る

だから、ならない

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/01/06 21:48

両方とも展開して, x^6 + x^3 + 1 に等しいかどうか, 確認したらどうですか.

A を単位的可換環とするとき, x^6 + x^3 + 1 ∈ A[x] が A[x] の既約多項式かどうか判断するには,
A を具体的に決めてもらう必要があります.
例えば, A が有理整数環 Z の場合, 既約らしいですよ.

とはいえ, x^4 + x^2 + 1 ∈ Z[x] は, Z[x] において既約ではありません.
x^2 = X とおいて X^2 + X + 1 と変形し, その判別式の符号が負であっても,
x^4 + x^2 + 1 ∈ Z[x] が, Z[x] において既約であることの根拠にはならない, ってことですね.

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2017/01/06 21:10

x^6+x^3+1　x^3=X　とおく

上式は
X^2+X+1　となり、判別式Dは
D=1-4･1･1＝-3
X^2+X+1　は実数解を持たない。

よって実数の範囲で因数分解はできない。
3次の公式で考えても、上の形になるものは習わないですね。