ちょっと変わったマニアな作品が集結

1辺の長さがaの立方体の、各面の対角線の交点を頂点とする立方体Pは[ア]である。
Pの辺は全部で[イウ]本あるから、Pのすべての辺の長さの和は[エ]√[オ]であり、表面積は[カ]a^2、体積は1/6a^3である。

急ぎで解ける方いらっしゃいますでしょうか…?
途中式など詳しく教えてください。
宜しくお願いします。

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A 回答 (1件)

この立体は1辺の長さが同じ正三角形が8個で出来ている正8面体。



下の図を見れば解ると思う。
辺は12本。

1辺の長さがaの、中点通しを繋いでいるから、正8面体の1辺の長さは
図の赤線。

三平方の定理を使うと、赤の長さ=(√2・a)/2
これが全部で12本あるから、全部足すと12×(√2・a)/2
=6√2・a =6a √2

各面は長さ(√2・a)/2の正三角形。
高さは三平方の定理より(√6・a)/4
∴面積=(√12・a²)/16

面は8個だから、表面積=8×(√12・a²)/16
=(2√3・a²)/2=√3・a²
「【急】立体の体積を求める問題が解けません」の回答画像1
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