中学の1年の数学で垂線の弾き方を勉強しています。
lという直線から少し上に点Pという点が表示されている図があります。
テキストには以下のようにあります。
①直線l上に点Aを適当にとる。
②点Aを中心とする半径PAの円を書く
③直線l上に点Bを適当にとる(点Pからみて反対側にとると良い)
④点Bを中心とする半径PBの円を書く
⑤円Aと円Bは点P以外にもう1点で交わっている。
⑥点Pと点Qを通る直線がlに垂直な線となる。
実際に、この通りに手を動かしてやると、確かに、lに垂直な線が出せるのですが、
理屈がわかりません。
特に理屈がわからない点は、③です。
③で点Bを適当にとっているのに、なぜlの垂線が出るのでしょうか?
A 回答 (7件)
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No.7
- 回答日時:
簡単に言えば、直線lで点Pと線対称となる位置に点Qを取れば、PQがlに垂直になるからです。
なので、直線l上でさえあれば、たとえ点Aと点Bが同じ側にあっても、問題はありません。
作図する時に交点が分かりやすいように、点Bを点Aの逆側が望ましいだけですね。
No.5
- 回答日時:
手順としては、直線Lに関して、点Pの鏡面対象位置を作図していることになります。
鏡面対象位置なら、その間の距離は最小になるので、つまりその2点を結んだ直線は直線Lに直角になります。これを幾何学的に証明するには、いくつか方法がありますが、例えば:
△ABP と △ABQ とは合同です。
なぜなら、
・AB は共通
・AP=AQ
・BP=BQ
により、「3辺がそれぞれ等しい」からです。
ということは、PQ を通る直線と L との交点を R とすれば
△APR と △AQR
とは合同になります。
なぜなら、
・AR は共通
・AP=AQ
・∠PAR = ∠QAR
により、「2辺とそのはさむ角がそれぞれ等しい」からです。
(△BPR と △BQR とについても同様です)
ということは
∠ARP = ∠ARQ
であり、PQは直線であることから
∠ARP = ∠ARQ = 直角
ということです。
(∠BRP と ∠BRQ とについても同様です)
この場合には、③は直線Lの両側に「合同な直角三角形のペアを2組作る」という作業をしているのです。
No.4
- 回答日時:
下の図の上側。
青と赤の三角形は3辺が等しいから合同。
∴赤●の角度が等しい。
次にその下の図
赤●の角度が等しく、その角を挟む2辺も等しいから合同。
∴青●の角度が等しい。
青●の角度×2=180° だから青●=90°
No.1
- 回答日時:
半径だから、△APQも△BPQも二等辺三角形。
【定理】二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を 垂直にニ等分する。
よって直線lと直線PBは垂直に交わっているのだ。
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