錐体の体積と球の体積

錐体の体積と球の体積について質問です。

錐体の体積 = １／３　x 底面積　x 高さ、と公式で習ったのですが、
なぜ公式で錐体の面積が出るのでしょうか？

同じように、
球の体積 = 4/3 πr3乗、
球の表面積 = 4πr2乗、
と公式を習ったのですが、なぜこの公式で、答えが出るのか教えていただけませんでしょうか？

No.6 回答者： asdffafa00 回答日時： 2017/01/22 21:01

他の人が言っているように理系高校生レベルの微分積分が出来ないと

全く理解できない範囲です。

一番簡単な三角形の面積を求める計算式について
直角三角形としたときに斜面の線を
y=bxで書ける三角形としたときに[座標(0,0)(x,0)(x,bx)の三角形]

積分という高校で習う計算方法として
本当の書き方は全然違いますが
y=bxを積分すると　f(0→x)=(1/2)bx^2という式が立てられます。
(1/2)bx^2というのは(1/2)×(x)×(bx)ということなので何時も良く見てる三角形の公式です。

積分というのは　右辺はx^(a)をx^(a+1)にする時に(1/(a+1))を掛けると考えてください・・・①
今回はa=1であるのでx^1→x^2にして(1/(1+1))=(1/2)を掛けた式になります。

積分が何を意味しているかというと
三角形を「限りなく無限」に縦に切り刻んでその面積を足している様なイメージです。
その切り刻んだ0からxまでの直線の長さから計算できる無限に微小な面積を
全部足せば面積でるでしょ？的な感じです。
(線なので理論上は面積は存在しないのを、限りなく無限に切り刻んでるだけだから面積として計算できるというような概念。)
これを数学的に表すと①式のような変換を行えば計算できるというのが微分積分の範囲になります。


これを円錐に当てはめると
底面積πr^2と高さhにして、
無限に輪切りにして、断面積を全部足せばよいという積分をする。

ある高さxでの断面の半径はrx/h [半径は高さ0(頂点)なら0,高さh(底面)なら半径rになる]と表現されるので
断面積y=(rx/h)^2×π=(r/h)^2 × π × x^2となりそれを積分すると

f(0→高さh)=1/3 ×(r/h)^2×(πx^3)という式になる。

かなり省略した説明だけど、これにx=hとすれば1/3 (πr^2)×hとなる

同じように球の体積は半球にして高さと円の断面積の式からの積分計算
球の表面積も半球の高さと円の円周の式を積分計算して
それぞれを2倍すれば球の体積と表面積の計算式を求めることができます。

No.5 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2017/01/20 18:39

私が中学の時に習ったのは、ピタゴラスの定理とカバリエリの定理を使った球の体積の求め方です。

どちらも当時は中学3年で習う定理でした。

球の体積は、半径r高さ2rの円柱から高さrの円錐2個を上下からくり抜いて残った臼状の立体を考えます。

真横に半径rの球を並べると、どの高さの水平面で切っても、その断面積は同じになります。(球の断面は円で、臼型の断面はドーナツ型になります。)

臼型の体積を求めるには円柱から円錐2個を引けばいいので簡単に求まります。

表面積は、半径r高さ2rの円筒に納めると、中心軸から真横に投影した球面上の図形と投影された円筒上の図形の面積が常に等しくなることから、円筒の面積に等しいと分かります。

錐体は、同じ高さの四角錐を用意し、それを上下に伸縮したものを3個組み合わせると立方体になることから求めました。

これらは、微積分を使わなくても一応は証明できるのですが、「理解できなくても結果は覚えておけ」と言われた記憶があります。私の場合、逆に理屈を覚えて公式を忘れてしまうタチなんですがね...

No.4 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/20 18:35

他の方が答えているように、積分と言うのが必要になります。

積分で考えている内容を簡単に説明すると、
例えば三角錐をものすごく薄く輪切りにします。
1つ1つの輪切りにされたものは紙のようにペラペラで、面積はあるけど、一見厚さは0にみえます。
でも、ものすごく小さいけれど厚さはあって、ものすごくたくさん重ねることで、最初の三角錐に戻ります。
1枚1枚の面積は違いますよ。三角錐の先端は面積もほとんど0です。

このものすごく薄い三角の紙の体積を、ものすごくたくさん集めて元の三角錐の体積を計算すると、同じ底面積と高さでできる三角柱の体積の1/3となるのです。
分かりますか？難しいかな？

No.3 回答者： springside 回答日時： 2017/01/20 17:35

もし数学的に厳密に示せ、ということであれば、「積分」が必要になりますが、質問者さんはそこまで求めていらっしゃるのでしょうか？

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/01/20 17:18

円の周、円の面積など曲線・曲面の長さや面積、体積は簡単には求まりません。

計算方法に行き着くまで、人類は数百万年掛りました。
正確に測れないから。

ギリシャ文明時代に入って、ようやく、正方形の辺の1/3の点同士を繋いで8角形にして、さらに16角形、32角形と順にやって無限角形にして、円の周を求めました。

無限とか極限とか言う概念を使わないと求まりません。
極限は「賢い諦めを認める」と言う事で、1/無限大の誤差を含みます。

先ずは公式を覚えてください。
高校・大学で無限とか極限を勉強すると解ってきます。

No.1 回答者： bilateraria165 回答日時： 2017/01/20 16:53

質問者さんは中学生でしょうか？

錐体の体積や球の体積・表面積を厳密に求めるには積分の知識が必要ですが、これは高校数学の範囲になります。
一応参考までに解説ページを添えます。
http://mathtrain.jp/suitai

教科書にいきなりこの公式が出てきて「これが正しい」と言われても腑に落ちない部分は残るかもしれません。
私も当時は「そういうものだ」と自分を納得させていました。