数学の分からない問題を教えて欲しいです( ;_; ) 四面体ABCDの辺の長さがAB＝AC＝BD＝C

数学の分からない問題を教えて欲しいです( ;_; )

四面体ABCDの辺の長さがAB＝AC＝BD＝CD＝2、BC＝AD＝1を満たす。三角形ABCの面積は？
四面体ABCDの体積は？

答えは三角形ABCの面積が√15/4 で 四面体ABCDの体積は√14/12です。

よろしくお願いします( ;_; )

No.1 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/22 19:40

△ABCを底面として、頂点にDがあるとイメージしておいて欲しいです。

（説明が分かり易いと思います）

△ABCを考えます。
BC=1を底辺とした時、高さは√(2^2-(1/2)^2)=√(4-1/4)=√(16-1)/2=√15/2となります。
なので面積は1*√15/2/2=√15/4となります。

BCの中点をEとします。
AEの長さは先ほどの高さなので√15/2です。
△DAEを考えます。（四面体を真っ二つに分断した断面ですね）
BCを固定させた状態でAを持ち上げるとDの位置に重なります（BCが固定されてるので回転してますよ）
DEもAEに等しいのが分かると思います。√15/2です。
DからAEに垂線を下ろします。（これが四面体ABCDの体積を考える時に△ABCを底面とした場合の高さです）
AEとの交点をFとしましょう。
DF^2=DE^2-FE^2＝DA^2-FA^2　となりますね？
DF=h、FA=xとすると
h^2=(√15/2)^2-(√15/2-x)^2=1^2-x^2
√15x-x^2=1-x^2
√15x=1
x=1/√15
これを代入して
h=√(1^2-(1/√15)^2)=√(1-1/15)=√14/√15
四面体は三角錐なので、体積は
√15/4*√14/√15/3＝√14/12　となります。