定積分の問題です！

(1)∫[0→1](x/(1+x^2))dx の定積分の値を求めよ

(2)∫[0→1](1/(1+x^2))dxの定積分の値を求めよ

よろしくお願いします！

No.5 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2017/01/28 00:25

この問題は、両方とも、大学受験(高校数学)での基本的な定石を使うものですね。

(大学の範囲ではありません)

(1) 被積分関数が、f'(x)/f(x)の形(又はその定数倍)になっているときは、log|f(x)|の微分がf'(x)/f(x)になることを使う。

(2) 被積分関数が、1/(a^2 + x^2)の形(又はその定数倍)になっているときは、t=a tan(x)と置いて置換積分を使う。

このやり方は、当然覚えておくべきものです。

No.6 回答者： springside 回答日時： 2017/01/28 00:33

No.5です。

(2)に書き間違いがありました。

x=a tan(t)と置きます。

この回答へのお礼

x=a tan(t)ですね
わかりました！

お礼日時：2017/01/28 07:38

No.4 回答者： think2nd 回答日時： 2017/01/24 16:18

(1)　は高校生の問題だけど　(2)　は違いますよね。

　(1)　は　微分で習った　y=log[1+x^2]　　をxで微分したy'=2x/(1+x^2)　の右辺が　積分の　被積分関数と同じだから、
　　∫[0→1](x/(1+x^2))dx=(1/2)∫[0→1](2x/(1+x^2))dx=(1/2)[log[1+x^2]][0→1]=(1/2)log[2]

　(2)は大学じゃ公式です。　x=tan(t)　と置くと　dx/dt=1/(cos(t))^2=1+(tan(t))^2=1+x^2
　　　　∫(1/(1+x^2))dx)=∫(1/[1+(tan(t))^2)]・[1+(tan(t))^2]dt=∫dt=t+C　(Cは積分定数)
　　t=arctan(x)　x:0→1ならt:0→π/4だから
　　∴　∫[0→1](2x/(1+x^2))dx=∫[0→π/4]dt=t[0→π/4]=π/4

この回答へのお礼

大学レベル…
難しい問題の解説
ありがとうございます！

お礼日時：2017/01/26 18:00

No.3 回答者： hideo-happy 回答日時： 2017/01/24 14:30

No.2の者です。

訂正）部分積分-->置換積分
です。

この回答へのお礼

間違えました…

お礼日時：2017/01/26 18:00

No.2 回答者： hideo-happy 回答日時： 2017/01/23 16:26

∫[0→1](x/(1+x^2)dx

部分積分法を使う。
∫f(x)dx=∫f(f(Ψ(t))Ψ´(t)dt

1+x^2=t
x=√(t-1)

dx/dt=1/2x(t-1)^(-1/2)

∫f(X)dx＝√(t-1)ｘ(t-1)^(-1/2)/(2t)
　　　　＝1/(2t）
∫[0→1]f(x)dx＝[0→1]1/(2(1+x^2）＝1/2+1/4
　　　　　　＝3/4

∫1/(1+x^2）dx
上記と同様に

dx/dt=1/2ｘ(t-1)^(-1/2)

∫f(x)dx＝1/(2t√(t-1)）＝1/(2(1+x^2）・x）
∫[0→1]f(x)dx=∞

この回答へのお礼

部分積分、やってみます！
わかりやすい解説ありがとうございます

お礼日時：2017/01/23 17:24

No.1 回答者： ラロラロ 回答日時： 2017/01/23 16:12

分母の判別式がD>0の時は、部分分数分解をして解きます。

D<0ならば時は、tanθで置換します。

(1)
x=tanθとおくと
dx=1/cos^2×dθ
θ[0→π/4]

x/(1+x^2)dx=x/(1+tan^2θ)×1/cos^2θ×dθ
=x×cos^2θ/cos^2θ
=tanθ
=sinθ/cosθ
=(-cosθ)'/cosθ

与式=[-log|cosθ|](0→π/4]

(2)も同様に。

ミスってましたらすみません。

この回答へのお礼

tan を使うという置換積分 思いつきませんでした
ありがとうございます！

お礼日時：2017/01/23 17:25