数学が得意な方に質問です。

本で読んでいて出てきたのですが、

x^2 ± (x+y+z), y^2 ± (x+y+z), z^2 ± (x+y+z)
がどれも平方数であるような有理数x,y,zを求めよ。


という問題はどう解くのでしょうか?
また、この問題が表している意味を教えてください。

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A 回答 (2件)

平方数に有理数の平方が含まれるのなら有理数解も考えられます。



最初の組x^2 ± (x+y+z)が有理数の平方数だから
a=x+y+zとしてx^2+a=p^2, x^2-a=q^2 (p,qは有理数)。
両辺を加えると2x^2=p^2-q^2,両辺2倍すると(2x)^2=(p+q)^2+(p-q)^2
したがってx,p,qは有理数kと整数m,nを用いて
(x,p,q)=(k(m^2+n^2),k(m^2-n^2+2mn),k(m^2-n^2-2mn))と表せます。
またa=(p^2-q^2)/2=k^2(2mn(m^2-n^2))となります。

このことからある整数m,nを用いてつくったピタゴラスの三つ組(m^2+n^2,2mn,m^2-n2)を
辺とする直角三角形に対してxはその直角三角形の斜辺のk倍、aは
直角三角形の面積の4k^2倍であることがわかります
y^2 ± (x+y+z),z^2 ± (x+y+z)についても同じです。

結局、題意を満たすためには、一番簡単な場合は面積の等しい
ピタゴラスの三つ組を三つ用意してその三つの三角形の斜辺の和のk倍が
三角形の面積の4k^2倍に等しいとすればいいことがわかります。
さらに簡単なのは三つの三角形が等しい場合で例えばx=y=z=25/8が解となります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2017/02/02 07:16

x、y、zがx+y+z=0を満たす整数なら題意を満たしますよね。

(x,y,z)=(1,1,-2)とかいくらでもできると思います。
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z=-x-y
として、それを右の式のzに代入します。
それを展開してまとめると
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という式になります。
あとはこれを因数分解すれば
(x-y)^2=0
となるので、x=yという答えがでます。
与えられた条件がほかになければこれでいいはずです。

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の関係式を使ってみようかな。。。
って思ったんですが…できません^^;

どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

x^2+y^2+z^2をzで表すのだからx^2+y^2の部分が問題です。
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だから目標はxyをzで表すことです。

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