http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=93778に絡んだ質問です。

> 一般の集合Xの距離と言うのは、a,b∈Xを引数とする実数値2変数関数で
> (1) d(a,b)≧0 、a=b ⇔ d(a,b)=0
> (2) d(a,b)= d(b,a)
> (3) d(a,b)+ d(b,c)≧d(a,c) (三角不等式と言います)
> の3つの条件を満たすものです。

> ユークリッド空間の2点x=(x_1,x_2,…,x_n)と y=( y_1,y_2,…,y_n) の距離は通常
> |x-y|= sqrt((x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + … + ( x_n- y_n)^2 )
> で定義されます(これをユークリッド距離と言います)が、これだけがユークリッド空間
> の距離の唯一の定義というわけではありません。
> max{|x_1 - y_1|,|x_2 - y_2|,…,| x_n- y_n|}
> も距離になります。(これは通称マンハッタン距離と呼ばます。)

についてですが、マンハッタン距離が条件(3)を満たす理由がわかりません。
証明をお願いします。

A 回答 (1件)

単に普通の絶対値に関する三角不等式を応用するだけです。


x=(x_1,…,x_n),y=(y_1,…,y_n),z=(z_1,…,z_n)とし、マンハッタン距離を
d(*,*)とすると

d(x,z)= max{|x_1-z_1|,…,|x_n-z_n|}
≦ max{|x_1-y_1|+|y_1-z_1| ,…,|x_n-y_n|+|y_n-z_n| }
≦ max{|x_1-y_1|,…,|x_n-y_n|} + max{|y_1-z_1| ,…,|y_n-z_n| }
=d(x,y)+d(y,z)

最初の不等号は、三角不等式により右辺の max をとる集合の要素がそれに対応する
左辺のものよりすべて大きいから。

次の不等号は
max{|x_1-y_1|+|y_1-z_1| ,…,|x_n-y_n|+|y_n-z_n| }=|x_i-y_i|+|y_i-z_i|
とすれば
|x_i-y_i|≦ max{|x_1-y_1|,…,|x_n-y_n|}
|y_i-z_i|≦max{|y_1-z_1| ,…,|y_n-z_n| }
だから
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この回答へのお礼

二つ目の不等式の所で躓いていました。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/27 15:04

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Aベストアンサー

No.2です。いろいろ出てきましたね。
No.3さんの
「a≦c, b≦c ⇒ max(a,b)≦c」
は、直感的ですが、逆の
「max(a,b) ⇒ a≦c, b≦c」
も成り立つと思います。実際、確率の問題で、これを使ってといているのがあったはずです。

maxの逆はminですが、よくよく考えると、minはmaxを使って書き表せますね。a,bを実数とすると、

min(a,b)=-max(-a,-b)

と。整数とか有理数でも同じですね。
また、a>=1,b>=1なら、技巧的ですが、
min(a,b)=((ab)^(-1) max(a,b))^(-1)
とも書けます。^(-1)は、-1乗するということで、要するに逆数を取れ、ということです。例えば、c^(-1)=1/cです。

ちょっと、今気がついたのですが、このやり方で、a>=1,b>=1のmaxを、0<a<1,0<b<1のみの範囲で定義されているmaxを使って定義しなおすことができますね。
max(a,b)=ab max(1/a,1/b)
つまり、0~1の区間でのみmaxが定義されていれば、正の全区間でmaxが定義できるということです。まぁ、これは、さすがに使わないと思いますが、
min(a,b)=-max(-a,-b)
の方は、心にちょっと留めておいてもいいのではないでしょうか。maxとminが両方出てくるような問題で、二つを同時に考えなくてよくなりますので。

No.2です。いろいろ出てきましたね。
No.3さんの
「a≦c, b≦c ⇒ max(a,b)≦c」
は、直感的ですが、逆の
「max(a,b) ⇒ a≦c, b≦c」
も成り立つと思います。実際、確率の問題で、これを使ってといているのがあったはずです。

maxの逆はminですが、よくよく考えると、minはmaxを使って書き表せますね。a,bを実数とすると、

min(a,b)=-max(-a,-b)

と。整数とか有理数でも同じですね。
また、a>=1,b>=1なら、技巧的ですが、
min(a,b)=((ab)^(-1) max(a,b))^(-1)
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Q「一点aを閉集合であることを示せ」。 一点aは集合でないのでこの文章は間違ってますよね?

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(昨日のテスト問題です)
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Aベストアンサー

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