数学を特徴づけるものとは？

Question

数学を特徴づけるものを１つあげるならそれは、何ですか？自分は、数学の自由性だと思うのですが。。。それについてどう書きあげればいいのかわかりません。そのことについてもご意見ください。できればなるだけ早くお願いいたします。

noname#7273 · Accepted Answer

わたしも数学の特徴として「自由性」ということに賛成です。
じゃ、数学のどこが自由かということになりますね。

さて、多くの数学者が、数学は自由であるといっているかと思いますが、
実は、カントールも数学は自由であると言っています。
---カントール(Georg Cantor,1845～1918)：集合論の創始者。
デンマーク生まれのユダヤ系商人の子としてペテルブルグで生まれた。
1856年ドイツへ移住。ベルリン大学で学位を得、ハレ大学で教えた。---

そのカントールの創始したのは、いわゆる素朴集合論で、
後になって、単に「ものの集まり」というだけでは矛盾が生じる、
ということが指摘され(たとえばラッセルの矛盾)、
それらを回避する手立てとして公理論的集合論が生まれ、
今では、数学基礎論という確固たる分野も築かれています。

公理とは、現実にそうであるかないかに頓着せず、
兎に角無条件に真であると仮定してみるという命題のことです。
そういう命題を議論の出発点として、
正しい推論を重ねていった末に、
どんな体系が生まれるかを見ようとする。

もちろん、うまくいけば、それが現実の現象を説明するのに
役立つかもしれませんが、むしろそれが目的というのでもない。
何を仮定したら何が生まれるか、
論理の糸を、自由に操って、思惟の世界を楽しむ
それが数学の醍醐味のように思います。

実験科学者の興味は、さまざまな現象の解明にあり、
工学者の興味は、実際に役立つ道具を作ることにある。

しかし、それらとは対照的に、数学者の興味は、
上記の分野の基礎理論となり得ることを知ってか知らずか、
兎に角、論理のエレガントさに心惹かれ、
純粋な理論体系を打ち立てることそれ自体に興味があるといえます。

カントールが、数学は自由であるといって、
一種の公理論的立場を早期から主張しながら、
素朴集合論に内在する一つの矛盾が指摘され、
公理論的集合論が生まれたというのは歴史の皮肉かもしれません。

以上長くなりましたが、ikecchiさんのように、
自由さという視点でまとめたいとすれば、
現代の数学は「公理論的数学」に立脚しているという点に着目し、
その歴史的な背景を一通りひもといてみることをお勧めします。
その一つの例が集合論の発展の歴史だということです。
また、その他の例としては、ユークリッド幾何学と
非ユークリッド幾何学の関係なども同様に公理論的数学の
歴史をたどる良い教材になるともいます。

次のURLも参考になると思います。

・公理的集合論ってなあに？
http://math.idbsu.edu/~kada/html/settheory.html
・ゲーデルへの道
http://alan.scitec.kobe-u.ac.jp/~hayashi/history/talks/game/index.htm

参考URL：http://math.idbsu.edu/~kada/html/settheory.html

noname#883 · Answer

数学は、「この世界(ある世界)ではこうだという哲学」であると思います。
つまり、「この世界では、９は０に等しく、２０は１、４５も、４０も１である、そんな世界を考える」ということも、数学なら、可能だと言うことです。
別な言い方をすると、何か前提があって、その前提下では、あらゆる物が平等だ。ということです。その意味では、強烈な「普遍性」を持つ、ということです。
ただし、もし、我々の物理学が全く通用しないような、別の宇宙があつても、驚かない、そういう謙虚さをもった学問であると考えます。
ちなみに、選挙という世界では、９歳は０票、ですね。

prome · Answer

大学で数学を専攻していたので、一言書きたくなりました。
京都大学名誉教授の森毅氏は、現代数学は「異なるものを
同じものだというための理屈を追求する学問」という意味の
ことを言っていました。正に名言です。その通りだと思います。
代数学では群の同型、位相幾何学では位相空間の同相、
微分位相幾何学では可微分多様体の同型というふうに、
集合に演算や位相・微分形式などの約束事を導入し、
その約束事で集合を分類しようということをしています。
一見全く定義が違う集合でも、その約束事により同じものと
見なすことができるからです。
そしてその約束事は空想的なものではなく、ユークリッド空間が
持つ性質を抽象化したものです。
あと私見では、数学は他の自然科学とは一線を画している感が
あります。他の方がおっしゃてるように哲学です。純粋な学問です。
ある物理学者が、数学は物理などの自然科学を表現するための
道具にすぎないと書いているのを見て、憤慨しました。
決してそんなものではありません。この人は真の数学の美しさを
知らない可哀相な人だと思いました。
数学を愛する者の一言でした。

orimoto · Answer

ぼくのように、工学から社会科学に移った人間から見ますと、数学は言語の一種と見えます。つまり、工学や社会科学のロジック、ストーリーを記述する上で、数学を使うと、言語的表現を大きく短縮する上、ロジックも明解にします。

しかし数学そのものを業としている人の見方は違うと思うのです。「数学の自由性」というとらえ方も、よく分かりませんが、そういう人の感じ方だと思います。

ただ以前、確率統計学の授業（大学院）を受けたとき、ある命題に対して、２つの”正しい”（つまり人間の理性が受容できる）ロジックが展開できて、その結果としての解答が２つあると聞いたときには、ビックリしてしまいました。それまで数学は論理が厳密で、当然解答は１つと思っていましたから。あなたのご質問を読んで、こういうことを言っているのかなと思いました。今考えると、命題の中に「自由性」のネタが隠れていたのかなとも思います。

回答になってなくてすいません。

jna-kei · Answer

全然回答になってないかもしれないですけど・・・
自分の大学の教授が「数学は科学ではなく芸術だ」と言っていました。
自然科学（物理学や生物学など）は現実の現象を最も矛盾なく説明できるロジックを組み立てる学問ですが、
数学はただロジックだけの学問ですね。（学問≠科学です）
「出来あがったロジックの完全さ」＝「美しさ」といったところでしょうか。
π=-ie(でしたっけ？）なんかの式を見ると、なんとなく分る気がします。
勿論、両者は互いに排他的ではありません。

TEKITOU · Answer

計測する側の相対位置(始点)とモニターする側の位置(視点?)によって
答えがコロコロ変わるという点じゃないですかね　爆

sesame · Answer

私は数学の特徴は普遍性だと思っていました。
数学の定理や公式は、たとえ記述する言語が変わっても、地球上どこへ行っても、国籍や民族が違っても、必ず同じになる。
たとえ地球外文明であろうとも、物事を離散的・定量的にとらえることができる知性なら、地球と同じ数学を理解できるはず。

「自由性」というのもそういうことではないでしょうか？
ある特定の準拠枠にとらわれることがないという意味で。
ちがうのかしら？

数学を特徴づけるものとは？

わたしも数学の特徴として「自由性」ということに賛成です。

数学は、「この世界(ある世界)ではこうだという哲学」であると思います。

大学で数学を専攻していたので、一言書きたくなりました。

ぼくのように、工学から社会科学に移った人間から見ますと、数学は言語の一種と見えます。

全然回答になってないかもしれないですけど・・・

計測する側の相対位置(始点)とモニターする側の位置(視点?)によって

私は数学の特徴は普遍性だと思っていました。

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