数学の問題です。 n次のベクトルa,b,cが一次独立の時、以下のベクトルが一次従属になるように定数k

数学の問題です。
n次のベクトルa,b,cが一次独立の時、以下のベクトルが一次従属になるように定数kを求めたい。k=1の時は明らかに一次従属であるが、これ以外のkの値を求めよ。
ka+b+c,a+kb+c,a+b+kc

さっぱりわかりません。手助けお願いします。

質問者からの補足コメント

• 一次独立、一次従属の意味は理解してるつもりです。他の関連問題は解けたのですが、この問題がどうしても解けません。

    補足日時：2017/01/30 13:42

• 一次従属の条件って、一次結合で表せる、と習いました。
  ka+b+c=X(a+kb+c,)+Y(a+b+kc)
  が成立するX、Yの組み合わせが存在する、とかでしょうか。

    補足日時：2017/01/30 21:03

• 何を求めるのが正解なのかいまいちわかりません。なにか変数を使った方がいいんでしょうか。正直全然らちがあかなくて…

    補足日時：2017/01/30 21:10

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/01/31 00:15

う～ん, 「おしい」というべきか「おかしい」というべきか....

まず「a, b, ..., c が一次従属」というのは「a, b, ..., c が一次独立でないこと」であって, 「a, b, ..., c が一次独立」が
ax + by + ... + cz = 0 ならば x = y = ... = z = 0
だから結局「a, b, ..., c が一次従属」を厳密に定義すると
ax + by + ... + cz = 0 となる「全てが 0 ではない」x, y, ..., z が存在する
となる. 「一次結合で書ける」というのはその通りなんだけど, 「どれをどの一次結合で書くか」には任意性があるし選び方を間違えると危険なので注意. 実際には今の場合は問題ないんだけど, 一般には選び方によっては答えが出てこないこともあるからね.

でまあ本当はよくないんだけど例えば
ka+b+c=X(a+kb+c,)+Y(a+b+kc)
が成立するX、Yの組み合わせが存在する
という条件から k の値が求まるはず.

あと「定数kを求めたい」という問題なんだから, 最終的には「k の値はこれだ」って出すことになる.

この回答へのお礼

順を追った丁寧な解説ありがとうございます。
二人で取り組んで、なんとか答えの-2を得ました。ありがとうございました。

お礼日時：2017/02/01 22:09

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/01/31 23:46

>k = X+Y

>1 = kX + Y
>1 = 1 + kY
>これを解けば終わり。

訂正

k = X+Y
1 = kX + Y
1 = X + kY
これを解けば終わり。

ついでに、k=-2, X=-1, Y=-1

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/01/31 20:40

>ka+b+c=X(a+kb+c,)+Y(a+b+kc)

まあ、これで構わない。a, b, c は一次独立だから
左右で a, b, c の係数が有ってないといけない。

k = X+Y
1 = kX + Y
1 = 1 + kY
これを解けば終わり。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/01/30 15:43

では, 「その 3つのベクトルが一次従属である」という条件を式にしてみてください. そこから k の値が出てくるはずです.

k が求まらないときは「どこまでできてどこで困っているのか」も書いてくださいね.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/01/30 13:13

「一次従属」の意味は分かりますか?