数学

この問題がわかりません。解説もお願いします。

No.7 ベストアンサー 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/01 18:40

(2)について、tの範囲云々言わなくても

X=2^xと置く
f(X)=2X^2+2/X^2-3X-3/X
f'(X)=4X-4/X^3-3+3/X^2
=(4X^4-3X^3+3X-4)/X^3
=(X-1)(4X^3+X^2-X-4)/X^3
=(X-1)^2(4X^2+5X+4)/X^3

(4X^2+5X+4)=0の時
X=(1/8)(-5±√(25-64))≠実数
よって
X=2^x=1　→　x=0の時f'(x)=0
X>1　→　x>0の時f'(x)>0
0<X<1　→　x<0の時f'(x)<0

これらよりf(x)はx=0の時最小である。

この回答へのお礼

ありがとうございました。ボケ防止に数学を始めてみましたがわからないことだらけです。
丁寧な説明でわかりやすいです。

お礼日時：2017/02/01 18:49

No.6 回答者： 20170130 回答日時： 2017/02/01 16:15

相加相乗平均についての補足

2^x > 0, 2^(-x) > 0 なので

相加平均 >= 相乗平均 の関係が使えて
(2^x + 2^(-x))/2 > √(2^x * 2^(-x)) = 1 となります
等号成立は 2^x = 2^(-x) , x=0

これから t のとりえる範囲は 2以上になると思います

この回答へのお礼

ありがとうございました。
数学の理解が中々出ません。年を取っても最近始めました。

お礼日時：2017/02/01 18:51

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/02/01 16:03

相加相乗平均よりー41/8ではなくて3/4はダメなのだな！

現役でないとダメかな！

この回答へのお礼

ありがとうございました。
ボケ防止で数学を始めました。
還暦過ぎて始めました。勿論最近です。中々理解ができにくく何時間も奮闘しております。

お礼日時：2017/02/01 18:54

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/02/01 15:59

相加相乗平均より 2^x+2^(ーx)≧2 より ー41/8 はダメなのだな！

この回答へのお礼

ありがとうございました。
これからもよろしくお願いします。

お礼日時：2017/02/01 18:55

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/02/01 15:43

問題の式を実際の割り算してみる

f(x)=(2˟ + 2⁻˟)(2･2˟ +2･ 2⁻˟-3) - 4
=(2˟ + 2⁻˟){ 2･(2˟ + 2⁻˟-3) } - 4

2˟ + 2⁻˟=tと置くと
f(x)=t(2t-3)-4 = 2t² -3t -4

これをグラフに描いてみると、tに関する下に凸の２次曲線になる。
y=2(t-3/4)² - 41/8

t=3/4の時、最小値- 41/8と思い勝ちだが間違い。

tを元に戻すと
2˟ + 2⁻˟=3/4となり、これを満たす実数xは存在しない。

2˟=pと置いてみると
p+1/p=aが実数値をとる為のaの範囲を考える必要が有る。
p+1/p=aを変形するとp²-ap+1=0となり
これが実数になる条件は判別式D=a²-4≧０
∴a≦-2、又は2≦a

つまりt≦-2、又は2≦t　が条件の範囲となるから


この条件をグラフで確認するとt＝2の時に最小値-2となる。
t＝2˟ + 2⁻˟＝２を解くと
2˟=pと置いてp²-2p+1=0 ∴p=1
2˟=1

∴x=0の時最小値-2

この回答へのお礼

とても丁寧な説明と図示ありがとうございました。
とてもわかりやすいです。還暦過ぎて始めた勉強です。ベストアンサーがもう一人選ぶ事が出来たらとおもいます。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2017/02/01 18:58

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/02/01 14:59

2^x+2^(ーx)=t 2t^2=2・4^x+2・4^(ーx)+2・2

与式=2t^2ー4ー3t …答え1

=2｛t^2ー(3/2)tー2)
=2｛(tー3/4)^2ー2ー9/4｝
=2(tー3/4)^2ー17/2
最小値=ー17/2 …答え2 ( t=3/4) →

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2017/02/01 14:53

4^x と 4^(-x), 2^x と 2^(-x) の係数が同じなので

f(x) は t^2 と t (と定数)で表せます

4^x=(2^x)^2 を使って、t^2 を計算してください

f(x) が t の二次式になるので、最小値が求められます

ただし、t は取り得る範囲が限定されるので、注意してください
(相加相乗平均などから範囲は簡単にわかると思います)