数Ⅲ関数の極限 写真の問題が理解できません。 分母＝x^2－1→0かつ、 極限が有限の値に収束するこ

数Ⅲ関数の極限
写真の問題が理解できません。

分母＝x^2－1→0かつ、
極限が有限の値に収束することから
分子＝x^2＋ax＋b→0である必要がある

と解説に書いてありましたが、これ理解できません。
0/0＝2 なの？と考えてしまいました。

どなたか説明お願い致します。

No.7 ベストアンサー 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/08 21:40

自分で作るというか、式を変形させるわけですね。

=2に収束するのでx≠1です。
x≠1ならx-1で割れます。=2(整数)なので割り切れます。
つまりx-1で約分できます。
約分によりx-1を消せれば0/0という表現は無くなり、=2に収束します。
x-1で約分できるということは、分子もlim(x→1)によって0である必要があるという事です。

0/0が約分できるのではなく、(x-1)/(x-1)が約分できるのです。
説明するというのは難しいですね(汗)
これらの説明で分かるでしょうか？

この回答へのお礼

分かりました！とてもご丁寧にありがとうございます！

お礼日時：2017/02/12 09:19

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2017/02/05 23:43

No.4です。

分母＝x^2－1→0かつ、
極限が有限の値に収束することから
分子＝x^2＋ax＋b→0である必要がある

これはつぎのようにすれば、よりかんたんかと思います
x^2＋ax＋b＝{(x^2＋ax＋b)/(x^2－1)}(x^2－1)　と書きなおせば
右辺の中かっこはx→1のとき条件より2に収束し、x^2－1はx→1のとき０に収束するから
積の極限は極限の積の公式によりx→1のときx^2＋ax＋b→2×0＝0　です。
そして、x→1のとき、x^2＋ax＋b→1＋ａ＋ｂでもあるから、1＋ａ＋ｂ＝0となります。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/02/05 21:18

lim は 0/0 を計算するのではなくて

xを１に近づけた時、(x^2+ax+b)/(x^2-1) が何に近づくかを
調べるだけです。

x^2+ax+b が x→1 で０に近づかないと、(x^2+ax+b)/(x^2-1)
は発散してしまうので、因数として (x-1) を持つはずです。

x^2+ax+b=(x+c)(x-1) と置くと
(x+c)(x-1) = x^2 + (c-1)x -c だから、係数を比べると

b = -c, c-1 = a

(x^2+ax+b)/(x^2-1) =
(x+c)(x-1)/{(x+1)(x-1)}=(x+c)/(x+1)

この分数の約分は x-1≠0 だから成り立ちます。
x→1 はあくまで x ≠ 1
で x を 1 に近づけてゆくからです。

lim[x→1](x+c)/(x+1)=(1+c)/2 = 2 ですから c = 3
従って、b = -3, a = 2

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2017/02/05 17:28

lim(x→1)(ｘ²＋ａｘ＋ｂ)=1＋a+b

いま、仮に1＋a+b ≠0ならば、lim(x→1)(1/(ｘ²-1))=＋∞か－∞なので
問題の関数のlim(x→1)は＋∞か－∞に発散してしまう、
したがって、1＋a+b ＝0、ｂ＝－(ａ＋1)だから
ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝ｘ²＋ａｘ－(ａ＋1)＝(x－1)(x＋ａ＋1)したがって
ｘ≠1なら、(ｘ²＋ａｘ＋ｂ)/(ｘ²－1)=(x＋ａ＋1)/(x＋1)ゆえに
lim(x→1){(ｘ²＋ａｘ＋ｂ)/(ｘ²－1)}=lim(x→1){(x＋ａ＋1)/(x＋1)}=(ａ＋2)/2
この極限値が2だから、(ａ＋2)/2＝2、これよりａ＝2、またｂ＝－(ａ＋1)＝－3
です。

No.3 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/05 17:18

（長くなりましたので、要約は中段の☆に囲まれている部分になります）

簡単に考えましょう。
与式が成り立つとき、とあるのですから、
lim(x→1)[(x^2+ax+b)/(x^2-1)]=2です。
つまり　与式≠0/0
そして　与式≠n/0=±∞（n≠0)　です。
と言うことは、
lim(x→1)[(x^2+ax+b)/(x^2-1)]=2という式は、
(x^2+ax+b)　を　(x^2-1)＝(x+1)(x-1)　で割り切れるということを表しています。
つまりx-1でも割り切れるのです。

(x^2+ax+b)/(x-1)を考えた時、
x^2+ax+b=x^2+(-1+1)x+ax+b
=(x-1)x+(1+a)x+(-(1+a)+(1+a))+b
=(x-1)x+(x(1+a)-(1+a))+(1+a+b)
=(x-1)x+(x-1)(1+a)+(1+a+b)
よって
(x^2+ax+b)/(x-1)＝x+1+a　余り　1+a+b
となります。
x-1で割り切れる為
余り＝1+a+b=0　である必要があります。

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

　lim(x→1)[(x^2+ax+b)/(x^2-1)]=2　が成り立つ為には
　(x^2+ax+b)を(x^2-1)の因数である(x-1)で割り切れる必要があり、
　lim(x→1)[x-1]=0であることから、
　lim(x→1)[(x^2+ax+b)]=0である必要があるのです。

　lim(x→1)[(x^2+ax+b)]≠0の時、
　lim(x→1)[(x^2+ax+b)]がlim(x→1)[(x-1)]=0の倍数であることはありえないからです。

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

この余りの式を変形さえると　b=-1-a　となります。
また、
lim(x→1)[(x^2+ax+b)/(x-1)=x+1+a=2(x+1)]
よって
lim(x→1)[a=x+1]
=2
これを代入することで
lim(x→1)[b=-1-a]
=-1-2
=-3
と解くことができるのです。

この回答へのお礼

不定形を消去できる形を自分で作ればいいということですか？！

お礼日時：2017/02/08 20:59

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/02/05 15:41

もしかして

lim_[x->1]{(x^2 + ax + b)/(x^2 - 1)} = {lim_[x->1](x^2 + ax + b)}/{lim_[x->1](x^2 - 1)}
が成り立つと思っているのですか.
残念ながら, この問題の場合, 上の等式は成り立ちませんが, その代わりに
lim_[x->1]{(x^2 + ax + b)/(x^2 - 1)} * lim_[x->1](x^2 - 1) = lim_[x->1][{(x^2 + ax + b)/(x^2 - 1)} * (x^2 - 1)]
は成り立ちます.
高校数学では, これが成り立つという事実だけ教えて, 成り立つことの証明は教えません.
で, 左辺 = 2 * 0 = 0 で, 右辺 = lim_[x->1](x^2 + ax + b) ですから,
lim_[x->1](x^2 + ax + b) = 0 と結論できます.

No.1 回答者： Ku-Mei 回答日時： 2017/02/05 15:05

あなたが計算しようとしたとおり、そのまま x = 1 とすると、0/0 となります。

極限が存在することから、分子、分母に(x - 1) が因数として存在し、それがキャンセルされます。その結果、極限が得られるわけです。分子が、(x - 1) を因数にもつことと、ｘの２次式であることから、
　　x^2 + ax + b = (x - 1)(x - c)
のように分解されます。右辺を展開して、次数の等しいもの同士を比較して、
　　a = -(1 + c), b = c
となりますから、分子は、(x -1)(x - b) となります(a = -(1 + b))。
　　lim (x - 1)(x - b)/{(x - 1)(x + 1)} = lim (x - b)/(x + 1)
となり、ここで、ｘを１に近づけると、与式は、
　　(1 - b)/(1 + １)
となります。ここで、条件から、この値が２となるから、
　　(1 - b)/2 = 2
となり、これより、
　　b = - 3
となり、これを a の式に代入して、
　　a = 2
となる。