高校数学の質問です。

Question

円と円、または円と放物線がただ一つの共有点を持つとき、その二つは接していると判断してよいですか？理由も含めてご回答宜しくお願いします<(_ _)>

クソgooは死ね · Accepted Answer

‖v‖ の正式な読み方はよく知りませんが, 貴方が書いているように, ノルム v, でいいんじゃないでしょうか.
接ベクトルの定義は, すでに説明したとおりで, 方向ベクトルとはまったくの別物です.

接線の方程式は, 途中に間違いがありますが, 最後は正しく求められています.
共有点 (0, 1, 0) における接線が, 円 S と 放物線 T で異なるので, 両者は接していません.

同一平面上にある円と放物線（および, 円と円）の場合, 両者の共有点が 1 つだけなら接しています.
ただし, そのことを「明らか」で片付けることは, おそらく認められないでしょう.
本当に明らかと思える人を除いて, きちんと証明する必要があります.
また, 円と放物線の場合, 逆は成り立ちません.

私の回答は, 以上で終了ですが, 質問があれば受け付けます.
取りあえず, お疲れ様でした.

クソgooは死ね · Answer

n が自然数のとき, k ∈ [1, n] ∩ Z = [1, n] ∩ N ならば, k は 1 以上 n 以下の整数（自然数）です.

v = (1, 1, √2) ∈ R^3 ならば, ‖v‖ = 2 です.
‖v‖ = ‖v‖^2 が成り立つのは, ‖v‖ = 0 か ‖v‖ = 1 の場合に限られます.
v が内積空間（実内積空間） V のベクトルであるとき, ‖v‖ = 0 ∈ R <-> v = 0 ∈ V,
また, ‖v‖ = 1 のとき, v を単位ベクトルといいます.
v と v の内積を (v, v) で表します.

内積空間とは, 内積が定義された線型空間です.
高校数学では, 内積空間は R^n, 内積は R^n の標準内積, と考えて構いません.
A が集合で, a ∈ A のとき, a を A の元といいます.
線型空間は集合であり, その元をベクトルといいます.

以前にも似たようなことを書きましたが, 2 曲線が接しているかどうか判断する際, 感覚に頼らないでください.
x 軸 と z 軸 は, どちらかを y 軸 を軸として π/2 回転すると接する（ぴったり重なる）のですが,
x 軸 と z 軸 は, 原点 O で接しているのでしょうか.

曲線 S(t) = (cos t, sin t, 0) (t ∈ [0, 2π[) の接ベクトル（単位接ベクトル）は, すでに求めました.
次は, T = {(x, y, z) ∈ R^3; y = z^2 + 1, x = 0} について, 同じ作業をしてください.
混乱しないように, パラメーターは t ではなく, u を使うのがいいでしょう.
ところで, 貴方は直線の「方向ベクトル」の定義を知っているのですか.
それを知らないと, 接線の方程式を求めることはできません.

クソgooは死ね · Answer

[1, n] = {x ∈ R; 1 ≦ x ≦ n} です.
よって, k ∈ [1, n] と書けば, k は 1 以上 n 以下の実数, という意味になります.
k が整数だとは, 誰も思ってくれません.

ベクトルのノルムは, 内積空間において定義されます.
v が内積空間の元であるとき, ‖v‖ = √(v, v) と定義します.
R^2 や R^3 は, 代表的な内積空間です.
例えば, v = (x, y) ∈ R^2 のとき, ‖v‖ = √(v, v) = √(x^2 + y^2) となります.
高校数学において, ベクトルの「大きさ」と「ノルム」は, 同義だと思って構いません.

v = (1, 1, √2) ∈ R^3 とすれば, ‖v‖^2 = (v, v) = 1^2 + 1^2 + (√2)^2 = 4 です.
で, ‖v‖ = 4 と答えたら, 正解だと思いますか.

>あと前前前回の質問内容での、円と放物線は同一平面に接しているのですが、この2曲線は接していますか？
まだ, 平面曲線について, 曲線上の点における接線を定義しただけです.
空間曲線に関しては, 接線も主法線も（ついでに従法線も）定義すらしていません.
当該 2 曲線が接しているかどうか, この段階で結論を出せると思いますか.
結論だけを知りたいのなら, 誰か他の人に訊いてください.
あるいは, 2 つの空間曲線が接していることの定義を調べるか, または, すでに貴方なりに出した結論で満足するのもいいでしょう.

クソgooは死ね · Answer

>・右側微分係数はｈ→＋０左側微分係数はｈ→ー０とすればいいということですか？
はい, そのように考えてください.

>・開区間閉区間の時に使う記号って、座標系の問題以外、例えば整数などの範囲にも使っていいですか？？
この質問だけは, 意味が分かりませんでした.
「整数などの範囲に使う」とは, どういうことでしょうか.
具体例を挙げて, 説明してください.

>・一応ウィキで調べたのですが、（２）の ||dS/dt||この記号ってノルムですか？
>・ノルムと絶対値の記号ってどう違いますか？？
>・ってかノルムって高校のベクトルでいう長さを表す絶対値と同じと理解しても良いですか？
ここは, とてもよく理解できています.
dS/dt はベクトルで, ||dS/dt|| はそのノルム（ベクトルの大きさ）を表します.

>(1)ｄｓ/dt=(-sint,cost,0)
これは, 見事に正解できています.

>(2)||ds/dt||=(-sint)^2+cost^2+0^2=1　？？
これは, いわゆる「まぐれ当たり」です.
最後, = 1 だからよかったのですが, = 4 なら間違えていました.
ベクトルの大きさの定義を, 再確認してください.
また, cost^2 ではなく, (cos t)^2 と書くのが正しいです.

>(3)(dS/dt)/||dS/dt||=(-sint,cost,0)　？？
(2) で ||dS/dt|| = 1 である理由を正しく理解していたのなら, これで正解でした.
残念ながら, 仮定法過去完了です.

全体的に, 今回はとてもよく頑張ってくれました.
舞台が平面から空間に移って, 接線だけでなく, 主法線も扱う必要が生じています.
これから話はさらに難しくなっていきますが, 現在の好調を維持してください.

クソgooは死ね · Answer

>ｘとｙを入れ替えて、場合分けをして右側微分係数（h→０で＋∞）と左側微分係数（ｈ→０でー∞）を計算し、不一致だったので、微分不可能と判断しました。
概ね正しいのですが, 右（左）から h を 0 に近づける場合, h -> 0 と書くのは正しくありません.

>この書き方を初めて見たのですが、高校範囲外ですか、、、？
質問タイトルは「高校数学の質問です」となっていますが, 質問内容は高校数学の範囲を超えています.
円と円がただ 1 つの共有点をもつ, といっても, それら 2 つの円が同一平面上に存在するとは限りません.
円と放物線の場合も同様ですが, 仮に同一平面上, 例えば xy 平面上, に存在しても, 放物線の軸が x 軸 か y 軸 のどちらかに平行（一致する場合を含む）とは限りません.
高校数学だけで理解したいのなら, 質問そのものを訂正してください.
また, リタイアする（この質問への回答を締め切る）タイミングも, 貴方が自由に決めてくださって構いません.
貴方が「名前も分からない」という「このやり方」は, 微分幾何学で最初に習う事項です.
「基礎的な内容が書かれて『いる』サイト」よりも, 私の説明のほうが分かりやすいはずなので, 疑問があれば質問してください.

>あと、前回の回答に書いていたこの条件→(x, y, z) ∈ R^3ってどういう意味ですか？
(x, y, z) が R^3, つまり xyz 空間, の点である, という意味です.

S = {(x, y, z) ∈ R^3; x^2 + y^2 = 1, z = 0} は, xyz 空間における 1 つの円を表します.
x^2 + y^2 = 1 という条件から, t ∈ [0, 2π[ を使って, x = cos t, y = sin t とおくことができます.
また, z は常に 0 に等しいので, 任意の (x, y, z) ∈ S は, 適当な t ∈ [0, 2π[ を使って (cos t, sin t, 0) と表せます.
よって, S(t) = (cos t, sin t, 0) と書くことにします.
まずは, ウォームアップとして, 以下のものを求めてください.
(1) dS/dt
(2) ||dS/dt||
(3) (dS/dt)/||dS/dt||

クソgooは死ね · Answer

まず, 曲線 C : y^2 = x^3 についてですが, これを y = ～ に変形するには, 右辺の場合分けが必要です.
それは面倒くさいので, パラメーター t を使って, C(t) = (t^2, t^3)　(t ∈ R), と書くことにします.
dC/dt = (2t, 3t^2) は t = 0 のとき, = (0, 0), つまり零ベクトルとなります.
点 C(t) = (t^2, t^3) において, dC/dt = (2t, 3t^2) ≠ (0, 0) のとき,
このベクトル (2t, 3t^2) を, 点 C(t) における「接ベクトル」といいます.
そして, 点 C(t) における C の接線を,
「この点 C(t) = (t^2, t^3) をとおり, その方向ベクトルが接ベクトル dC/dt = (2t, 3t^2) である直線」
と定義します.
dC/dt = (2t, 3t^2) = (0, 0) のとき, この点における接線は存在しません.
このような点を, この曲線 C の「特異点」といいます.
今回の例では, 原点 O が C の特異点となっており, y 軸は原点 O で C と接していません.

以上のことから,

>(1)計算してみた結果、接線と言えないと判断しました。
どういう計算をしたのか分かりませんが, 出した結論は正しいです.

>(2)ｙ＾２＝－ｘは明らかにｙ軸が接線と言えます。
これは正しいのですが, y 軸が接線であることを, 接線の定義に基づいて説明できますか.

>２曲線が接するということが、接点で共通の接線を持つことなのならば、
「接点」を「（両者の）共有点」に修正すれば, これも正しいです.

>2曲線は接していないということになります。
ここまでを踏まえることにより, これも正しいといえます.

>見た目で考えると接している気がしますが、、、ｗ
視覚に頼って判断するのは危険, ということが分かったのではないでしょうか.

>一つ疑問が湧きました！ｙ＾２＝ーｘの右側微分係数と左側微分係数を調べたときに片方が＋０でもう片方がー０になったのですが、
何を何で微分したのですか.
「片方」ということばが 2 度使われていますが, どちらが右側微分係数で, どちらが左側微分係数を表すのでしょうか.

で, もう 1 つの問題に関しては, 2 つの曲線 S と T をパラメーター表示することにより, 解きなおしてください.

>>S と T のそれぞれについて, 点 (0, 1, 0) における接線の方程式を求められますか.
>両方ｙ＝１になったのですが、、、あってますか？？？？
明らかに間違いです.
xyz 空間において, 方程式 y = 1 が表す図形は, 点 (0, 1, 0) をとおり, 法線ベクトルが (0, 1, 0) である「平面」です.

kairou · Answer

NO2　です。
「円と円、または円と放物線がただ一つの共有点」と云う設定でしたので
二次関数の場合は共通点が一つの場合は接すると書いたのですが。
ですから、共通点と書き、交点とは書きませんでした。

一次関数を含めると、NO3,4さんの回答通りになります。
あなたがどこまでを履修しているか、解りませんので。

クソgooは死ね · Answer

>２曲線が接するための条件って何ですか？
直線も曲線と見なします.
こういう質問をする貴方は, そもそも, 接線とは何か, がイメージできているのでしょうか.

曲線 C : y^2 = x^3 について,
(1) y 軸は原点 O における接線といえますか.
(2) 曲線 y^2 = -x は, 原点 O で C と接しているでしょうか.
これらを解くことにより, 2 曲線が接する条件を, 貴方なりに考えてみてください.

S = {(x, y, z) ∈ R^3; x^2 + y^2 = 1, z = 0},
T = {(x, y, z) ∈ R^3; y = z^2 + 1, x = 0},
とすると, S は円, T は放物線を表し, S ∩ T = {(0, 1, 0)} です.
S と T のそれぞれについて, 点 (0, 1, 0) における接線の方程式を求められますか.

t_fumiaki · Answer

厳密に言うのは難しいのですが、イメージしやすい様に言うと、
接するというのは、その点での傾きがどちらも同じと言う事です。

微分係数が同じという事になります。

平面上で，円と直線の場合，円と楕円の場合，および放物線とその軸に平行でない直線の場合は，いずれも共有点が１個の場合にそれらは接するといい，その共有点を接点といいます。

その場合に限り、その点での微分係数が同じになります。

２次以下の関数グラフでは、共有点が２個の場合には微分係数は同じになりません。

３次以上の関数グラフが関係する場合は、複数の共有点が有っても、微分係数が同じ(接する)になる事が有ります。

kairou · Answer

＞その二つは接していると判断してよいですか

その通りです。
その二つの図形をグラフに書いた時。
共通点が無い場合は、それぞれが離れている、独立している時です。
共通点が一つの場合は、それぞれが接している場合です。
共通点が二つ以上ある場合は、それぞれが交わっている場合です。

尚、接すると云う事は、その接点の座標の値が双方の式を満足していると云う事です。
逆に云えば、二つの式を同時に満足するX,Y の値が一つしかない場合は、
そこの点で二つが接していると云う事になります。

高校数学の質問です。

‖v‖ の正式な読み方はよく知りませんが, 貴方が書いているように, ノルム v, でいいんじゃないでしょうか.

n が自然数のとき, k ∈ [1, n] ∩ Z = [1, n] ∩ N ならば, k は 1 以上 n 以下の整数（自然数）です.

[1, n] = {x ∈ R; 1 ≦ x ≦ n} です.

>・右側微分係数はｈ→＋０左側微分係数はｈ→ー０とすればいいということですか？

>ｘとｙを入れ替えて、場合分けをして右側微分係数（h→０で＋∞）と左側微分係数（ｈ→０でー∞）を計算し、不一致だったので、微分不可能と判断しました。

まず, 曲線 C : y^2 = x^3 についてですが, これを y = ～ に変形するには, 右辺の場合分けが必要です.

NO2 です。

>２曲線が接するための条件って何ですか？

厳密に言うのは難しいのですが、イメージしやすい様に言うと、

＞その二つは接していると判断してよいですか

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