∫(a-x^2)^(1/2)dx=1/2{x(a-x^2)^(1/2)+a*sin^(-1)(x/a)}

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A 回答 (4件)

何箇所かのaはa^2の誤りでしょう。


有名な積分なので少し詳しい教科書か参考書に載っています。

まず (1-x^2)^(-1/2)の不定積分は sin^{-1}x(またはArcsin xとも書きます)
したがって 、置換積分によって(a^2-x^2)^(-1/2)の不定積分は
sin^{-1}(x/a) です。

次に(a^2-x^2)^(1/2)を1=(x)'と(a^2-x^2)^(1/2)の積だと思って
部分積分を行うと
x(a^2-x^2)^(1/2)-∫(-x^2)dx/(a^2-x^2)^(1/2)
となります。
第2項の積分を ∫(a^2-x^2)dx/(a^2-x^2)^(1/2)-a^2∫dx/(a^2-x^2)^(1/2)
と書き換えると,求めたい積分とArcsinになるので、移項して
2で割ればよいのです。だから最後のsin^{-1}の係数はa^2となる筈です。
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毎度おなじみのポカです(笑)


最後は「~」+C (Cは積分定数)

がつきます。失礼しました m(。-_-。)m 
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私も成り立たない気がするので、



a>0とし、√a=b とする。
∫(b^2-x^2)^(1/2)dx を計算することにします。

x=b*sint とすると、dx=b*costdt また、t=Arcsin(x/b) ⇒t=Arcsin(x/√a) ここが違うのでは???

左辺=b^2∫{1-(sint)^2}^(1/2)*costdt=a∫{(cos)^2}^(1/2)*costdt
cost>0のとき、{(cos)^2}^(1/2)=cost だから
  =a∫(cost)^2dt
  =a/2∫(1+cos2t)dt
  =a/2(t+(sin2t)/2)
  =a/2(Arcsin(x/√a)+sintcost)
  =1/2(a*Arcsin(x/√a)+asintcost)
ここで、 
  cost=(1-(sint)^2)^(1/2)=(1/√a)*(a-x^2)^(1/2)、sint=(x/√a)より、
  asintcost=x(a-x^2)^(1/2)
cost<0の場合も同様。

よって、求める不定積分は1/2{x(a-x^2)^(1/2)+a*Arcsin(x/√a)}
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この回答へのお礼

ありがとうございました.私も同じ答えになりました.やっぱり問題が間違っていたみたいですね.

お礼日時:2001/06/28 06:14

等式の証明ということでしたら,右辺を微分するというのはいかがでしょうか.



# 私が計算してみたところ,同じになりそうになかったのですが...(-_-;)
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高級なルームエアコンや最近の日立製以外のエアコンの除湿方法は#2のp-21さんいうようにただの冷房運転です。

おおざっぱに説明すると

現在温度(A) → 冷房 -2℃(これは機器によって値が違ったりする)落とす 
→ 圧縮機OFF(冷房切)送風のみ 
→ 温度が上がる
→ (A)の温度になる(或いはその+1,2℃)
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【問題】∫[x^3/{(x-1)^3(x-2)}]dx を計算せよ。
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そこから手も足もなくて…

どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

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>a(x-1)^5*(x-2)+b(x-1)^4*(x-2)+c(x-1)^3*(x-2)+d(x-1)^6=X^3という方程式を得ました。
両辺に(x-1)^3*(x-2)}を掛けたらなぜ↑の式になるのですか?
正しくは
x^3=a(x-1)^2*(x-2)+b(x-1)*(x-2)+c*(x-2)+d(x-1)^3 …(■)
です。
x=2とおいて d=8
x^3=a(x-1)^2*(x-2)+b(x-1)*(x-2)+c*(x-2)+8(x-1)^3
最後の項を左辺に移項
x^3-8(x-1)^3=a(x-1)^2*(x-2)+b(x-1)*(x-2)+c*(x-2)
x^3-8(x-1)^3=-(x-2)(7x^2-10x+4)なので両辺を(x-2)で割って
-(7x^2-10x+4)=a(x-1)^2+b(x-1)+c
x=1とおいて c=-1
左辺のcの項を左辺に移項
-(7x^2-10x+3)=a(x-1)^2+b(x-1)
左辺=-(x-1)(7x-3)なので両辺を(x-1)で割って
-(7x-3)=a(x-1)+b
x=1とおいて b=-4
-7x+3=ax-a-4
x=0とおいて a=-7

これで部分分数展開ができるので積分ができるでしょう。

部分分数展開の別解)
(■)の式の右辺を展開して
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これは恒等式なので各次の係数を比較して
1=a+d
0=-4a+b-3d
0=5a-3b+c+3d
0=-2a+2b-2c-d
この連立方程式を解けば
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#1です。

A#1の補足について

>x^3/{(x-1)^3*(x-2)}=a/(x-1)+b/(x-1)^2+c/(x-1)^3+d/(x-2)とおいて、
>a(x-1)^5*(x-2)+b(x-1)^4*(x-2)+c(x-1)^3*(x-2)+d(x-1)^6=X^3という方程式を得ました。
両辺に(x-1)^3*(x-2)}を掛けたらなぜ↑の式になるのですか?
正しくは
x^3=a(x-1)^2*(x-2)+b(x-1)*(x-2)+c*(x-2)+d(x-1)^3 …(■)
です。
x=2とおいて d=8
x^3=a(x-1)^2*(x-2)+b(x-1)*(x-2)+c*(x-2)+8(x-1)^3
最後の項を左辺に移項
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として、あとは
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E6%B3%95
でも見ながら頑張ってください。

Q【法律・エアコンの電気工事と法律について質問です】「エアコンの取り付けは電気工事士でなくても出来る?

【法律・エアコンの電気工事と法律について質問です】「エアコンの取り付けは電気工事士でなくても出来る?」

エアコンは電気用品安全法での特定電気用品以外の電気用品227番の「電気冷房機」に当たるので電気工事士の資格が無くてもエアコンの取り付けは素人がやっても良いってことですか?

エアコン本体の取り付けは素人でOKだけど、エアコンの電気配線はコンセント接続はダメで直接分電盤から敷いてくるようにとされているが、自宅のエアコンは高いところにエアコン用のコンセントがありコンセントからエアコンの電気を得ている。

ということは、屋内において2m以上の高さにコンセントを設置した場合、直接接続ではなくコンセントでも可能という緩和があって、2m以上の高いところにエアコン専用のコンセントがあれば、エアコンの取り付けと電気接続も全て素人でも出来るってことですよね?

2m以上の高さにエアコン専用のコンセントがない場合のみエアコン取り付け工事は出来ないけど、その家にエアコン専用のコンセントが既に存在していれば電気工事士がいなくても取り付けが出来る。

そういう認識でよろしいでしょうか?

【法律・エアコンの電気工事と法律について質問です】「エアコンの取り付けは電気工事士でなくても出来る?」

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Aベストアンサー

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家庭用ルームエアコンの取付は、室内-室外の渡り線接続を含めて、電気工事士免状保有者である必要はありません。
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∫{(g(x)+h(x)}dx = ∫g(x)dx + ∫h(x)dx は必ずなりたつ?

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以上、お手数をおかけして恐縮ではございますが、よろしくお願い申し上げます。

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Q窓用エアコンの排水が出ないエアコンは?

窓用エアコンの排水が出ないエアコンは?
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窓用エアコンをつける場合 排水がださない、エアコンがあると聞きましたが
まだネットで見つけられません、 お知らせください。

Aベストアンサー

>窓用エアコンの排水が出ないエアコンは?

     ↓
冷房時に冷却器に付いた結露水(室内空気の飽和蒸気圧の変化による結露)を室外に排出して温度低下と湿度低下の両方で屋内の快適性を向上させるのですが・・・
この時に出るドレン:結露水や除霜水をホースやパイプで連続排水する為に、窓の開閉が出来無い、防犯上困る、美観が悪い等の窓用エアコンへの不満が多くあります。

そこで、
ノンドレン方式・リターンホース方式が採用されています。

簡単な原理で言いますと
「ノンドレン方式」は、ドレンパン(水滴の受け皿)に溜まった水をスリンガーリングで水車のように跳ね上げ凝縮器(放熱器)に掛けて蒸発させる方式です。
エアコンの使用する時意外は窓の開閉が自由となり防犯上も好評の機能。

「リターンホース方式」は、エアコンを運転時だけドレンホースは窓の一部を開けての運転ですが、エアコンを使用しない時、冷房専用であれば冬とか春秋にはエアコン本体に折り畳めるので、窓を閉める事が出来る。


従って、
>ネットで見つけられません、 お知らせください。

カタログや店頭では、仕様欄でノンドレンとかリターンホースとか除霜水処理の項目をチェックしてください。
大半の機種は対応していますが、念の為に購入&工事される前に、相談・確認されると安心です。
既に、設置済みであれば、カタログ・取扱説明書でのチェック、またはメーカーのお客様相談窓口にお問い合わせされれば教えてくれます。

>窓用エアコンの排水が出ないエアコンは?

     ↓
冷房時に冷却器に付いた結露水(室内空気の飽和蒸気圧の変化による結露)を室外に排出して温度低下と湿度低下の両方で屋内の快適性を向上させるのですが・・・
この時に出るドレン:結露水や除霜水をホースやパイプで連続排水する為に、窓の開閉が出来無い、防犯上困る、美観が悪い等の窓用エアコンへの不満が多くあります。

そこで、
ノンドレン方式・リターンホース方式が採用されています。

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∫【1→2】{(x^2-x+4)/x(x^3+1)}dx
=(16/3)*log2-(8/3)*log3+【1→2】∫(x-1)/(x^3+1)dx
というところまで求めたのですが、最後の定積分が求められず、ここで手が止ま
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ちなみに最終的な答えは3*log(4/3)となるそうです。問題集には答えしか書か
れてないので困っています(^_^;)

Aベストアンサー

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)
でさらに部分分数分解を行ってください


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