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質問者：Gin-Buck
質問日時：2017/02/23 00:44
回答数：2件

ｆが単射の時f(A1ーA2)=f(A1)ーf(A2)を示せという問題で、以下二つ質問させてください。
(1)⊃は常に成り立つのは知っているのですが、最初展開すると∀y「y∈f(A1)ーf(A2)」⇔「(x1∈A1∧y=f(x1))∧￢(x2∈A2∧y=f(x2))」という形になると思うのですが、最後「y∈f(A1ーA2)」となるための「x∈A1ーA2∧y=f(x)」への持って行き方がわからず、⊃の証明に困っています。

(2)⊂の証明も頂けると幸いです。
他のサイトでも質問させて頂いていますが、宜しくお願いします。質問が良く分からないなどあれば助言して頂けると幸いです。

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回答 (2件)

No.1ベストアンサー

回答者： Ku-Mei
回答日時：2017/02/23 11:23

順序が逆になりますが、２の方から示します。

（ここでは便宜上、集合の包含関係を不等号で、元 a が集合 A の元であることを a in A （その否定は、not をつける）で表します。）　

f(A1 - A2) < f(A1) - f(A2) の証明
　任意の y in f(A1 - A2) を考える。
　y in f(A1 - A2) であることは、ある x in A1 - A2 が存在して、
　y = f(x) が成り立つことを意味する。
　x in A1 - A2 は、x in A1 かつ x not in A2 を意味しているから、
　f の単射性から、f(x) in f(A1) かつ f(x) not in f(A2) である。
　f(x) = y であるから、y in f(A1) - f(A2) が示された。

f(A1 - A2) > f(A1) - f(A2) の証明
　任意の y in f(A1) - f(A2) を考える。
　このことは、 y について、
　y in f(A1) かつ　y not in f(A2) が成立することを意味する。
　y in f(A1) より、y = f(x) なる x in A1 が存在する。
　y not in f(A2) より、すべての x' in A2 に対して、
　y <> f(x') である。（<> は、not = を表わす。)
　よって、y = f(x) なる x は、A2 の元ではない。
　すなわち、x in A1 - A2 なる x について、
　f(x) in f(A1 - A2) が成立する。
　y = f(x) であるから、y in f(A1) - f(A2) が示された。