(x2-y2)2-8*(x2+y2)+16を因数分解したら、(x+y+2)(x+y-2)(x-y+2)(x-y-2)となるようですが、その過程がわかりません。教えてください。
(x2やy2はxの二乗とyの二乗を表しています。)

A 回答 (3件)

まだ受け付けてます?



これの類題は、x^4+x^2+1の因数分解です。
x^4 + 2*x^2 + 1 - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2
と因数分解するやつ。
これの次がx^4 + 4 ですね。(これも4*x^2を加減してやる)
この2つは有名なので、ご存じかと思います。

これと同じ方法で解答されたのが、noname#598さんの解法です。
4*x^2*y^2を加減して解くということ、
(x^2-y^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 - 4*x^2*y^2
であるということ。ちなみにこの式変形はたまに使いますよ。
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この回答へのお礼

げっ!締め切るの忘れてた...。あっ、でもまた忘れてたからいい勉強させてもらいました。ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/08/20 11:47

 まず (x2+y2)2を足して、引きます。



(x2-y2)2-(x2+y2)2+(x2+y2)2-8*(x2+y2)+16

はじめの2項が和と差の積、後ろ3項が二乗の公式通りなので、

(x2-y2+x2+y2)(x2-y2-x2-y2)+(x2+y2-4)2
=2x2*(-2y2)+(x2+y2-4)2
=-4x2y2+(x2+y2-4)2
=(x2-2xy+y2-4)(x2+2xy+y2-4)
=( (x-y)2-4 )( (x+y)2-4 )
=(x-y+2)(x-y-2)(x+y+2)(x+y-2)

にて、終了になるかと思います。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/27 23:45

x^2+y^2=Aとすると、A^2=x^2+y^2+2x^2y^2より、


(x^2-y^2)^2=A^2-4x^2y^2
よって、
A^2-8A+16-4x^2y^2
=(A-4)^2-(2xy)^2
=(A+2xy-4)(A-2xy-4)
=(x^2+2xy+y^2-4)(x^2-2xy+y^2-4)
={(x+y)^2-4}{(x-y)^2-4}
=(x+y+2)(x+y-2)(x-y+2)(x-y-2)
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2001/06/27 23:45

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Q因数分解(中学)を早く正確に解くコツってありますか?

今、個別指導塾のバイトで中学生の因数分解を指導しています。
生徒さん(中2)は因数分解を解くのが遅いのですが、ヒントを出せばどうにか解いてくれます。

今後は問題をできるだけたくさん解いて
最終的にはヒント無しで因数分解を早く正確に解く
レベルまで上げてあげたいと思っているのですが
因数分解を早く解くための指導方法やコツなどがあれば
是非教えてください!
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

速さが求められるのは、受験数学だからであって、本来の発展のある数学の世界にスピードはあまり必要ないということをあらかじめお断りしておきたいと思います。
それを忘れていると、数学の面白さに出会えず、受験終了が数学の勉強の終了になりかねません。

現在の中学校ではたすきがけは出てきません。

速さを追求したいのなら、手順を定式化して反復練習です。
たくさん問題に当たれば、誤答は特定のパターンが見えてきます。本人に誤答理由が理解できれば、正答率はグッと上がります。

因数分解の場合は、
(1)共通因数をさがす
(2)2項の場合は和と差の積を疑う
(3)2次項の係数が平方数なら和・差の平方を疑う
(4)定数項の約数の組み合わせを出してその和と1次項の係数を比較する
といった手順がおよそ考えられます。

学習の基本は先人の追体験ですから、指導者ご自身の中学時代の計算手順を思い出して、細かいアドバイスを付け加えるとなお良いでしょう。

ただ、中学校3年の教材ですから、1・2年の文字式の計算が定着していることが前提です。

Q数学 計算(x二乗+xy+y二乗)(x二乗−xy+y二乗)(x4乗−x二乗y二乗+y4乗)↑

数学 計算
(x二乗+xy+y二乗)(x二乗−xy+y二乗)
(x4乗−x二乗y二乗+y4乗)

↑見づらくてすみませんT_T
途中の計算式、説明含めて教えて下さい。
来週、期末テストで助けで下さい…

Aベストアンサー

(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^2+y^2=A)
前の二項で、x^2+y^2=Aと考えると (A+xy)(A-xy) となり、 A^2-x^2y^2 
Aに (x^2+y^2)を代入して計算すると  x^4+x^2y^2+y^4  なります
x^4+y^4=B と考えると 与式は   (B+x^2y^2)(B-x^2y^2)

B^2-x^4y^4   Bに x^4+y^4 を代入すると (x^4+y^4)^2-x^4y^4

計算して、 x^8+2x^4y^4+y^8-x^4y^4=x^8+x^4y^4+y^8 

参考までに。

Q因数分解のコツについて

因数分解のコツについて教科書には「次数の低い文字について降べきの順に整理する」とありました。しかし、それでは解けない?問題がらしきものがありました。

x^3-2x^2y+xy-2y^2

という問題です。
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Aベストアンサー

基本的に、
>次数の低い文字について降べきの順に整理する
だけでOKです。

他の方法は、たまたま気づけば早くできる、ってことです。
気づかなければ、次数の低い文字について降べきの順に整理すればよいです。

上の問題だったら、yで整理して、
 x^3 - 2x^2y + xy -2y^2
= -2y^2 + (x-2x^2)y + x^3
これを、たすきがけで因数分解すればいいです。

あるいは、たすきがけも、思いつかなければ、
-2y^2 + (x-2x^2)y + x^3 = 0
を解の公式を使って、yについて解いてしまえば、
y = x/2,-x^2
ていう解がでてきます。したがって、
 x^3 - 2x^2y + xy -2y^2
= -2(y-x/2)(y+x^2)
= (x-2y)(x^2+y)
てことがわかります。

Q(x-y-3)(x-y+5)+7 この式を因数分解したら (x-y-2)(x-y+4)になります

(x-y-3)(x-y+5)+7

この式を因数分解したら

(x-y-2)(x-y+4)になります

このときの途中式を

説明してもらえませんか⁇

Aベストアンサー

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(x-y-3)(x-y+5)+7=(a-3)(a+5)+7=a^2+2a-8=(a-2)(a+4)=(x-y-2)(x-y+4)

Q中学数学の因数分解を教えてください

中学生です。中学数学の
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Aベストアンサー

#1です。

「*」は、「×」(掛け算)です。

(-1)*(-1)=1
なので、(-1)を2回掛けて符号の変化を起こさないようにしています。

『-yを+yにして』
結果は同じになっていますが、『-yを+yにして』ではなく、『(3y-x)』を『-(x-3y)』にしていると考えた方が、同じ項が出てくるのではっきりすると思いますが、どうでしょう?

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因数分解です!
2x^2-(5y−2)x+(3y+4)(y−1)
の因数分解した答えが
=(2x+3y+4)(x+y−1)
にどうしてなるのか、教えてください!

Aベストアンサー

ならないよ。問題か答えに書き間違いがある。
両方書き間違えかも知れない。

展開式のxyの項は+5、問題文では-5

2x² - (5y−2)x・・・・も怪しい 2x² - (5y+2)x・・じゃ無いの?
答えが正しいとすると2x² + (5y+2)x・・かも知れない。

Q中学生の因数分解の計算方法を教えて下さい

中学生の因数分解の計算方法を教えて下さい。

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12Xの2乗-4X-5

X2乗-y2乗-X+y

この感じになるとタスキ掛けで頑張っても中々出来ません。

今手元にあるのは中学数学の教科書のみで計算の仕方が載っていません。

このような問題での基本的な計算の流れや計算方法を教えて下さい。

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

12x^2-4x-5のようなものは
12=3×4,2×6,1×12つまり(3,4)(2,6)(1,12)と
5=1×5(1,5)
の数の組み合わせで-4になるものを探します
この場合だと
(2,6)と(1,5)で-2×5+1×6=-4となるので
(6x-5)(2x+1)となります
ようはX^2の頭についている数字からその掛け算の組み合わせを考えxがついていない数字との組み合わせであきらかに除外できそうなものを除いて考えてください
今回の場合(1,12)はパッと見除外できるでしょう

x^2-y^2-x+yのパターンは共通因数をみつけるようにします
x^2-y^2=(x-y)(x+y)と因数分解でき後半の-x+yは-でくくり-(x+y)
とすると共通因数(x+y)が見えてきますよね

x,yが混在している場合はこのパターンが多いです.
まずどこかで簡単な因数分解ができないか探してみましょう。

Q3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2=(x+2y-1)(3x+y-2)について

3x^2+7xy+2y^2-5x-5y+2を因数分解せよという問題で、xについて整理し、3x^2+(7y-5)x+(y-2)(2y-1)という方針で解いていくやり方と、
yについて整理し、2y^2+(7x-5)y+(x-1)(3x-2)という方針で解いていくとき方の2通りありますが、どちらで解く習慣を身につけておいた方がよろしいでしょうか?

Aベストアンサー

xやyのどちらの文字で整理するかで決めるのでなく、
次数の低い方、
その文字の現れる項数が少ない方
両方とも同じなら最高次の係数が小さい方
の文字に着目して整理して解くのが基本かと思います。

例題の場合はx,yについて共に2次、項数も共に3項で同じ、最高次の係数も3と2で素数の小さな数ですから、あまり差はありません。後は好みだけの問題でしょう。同じならxと決めて置いても

他の方法としてxとyの両方に着目し2次の項の因数分解
3x^2+7xy+2y^2=(x+2y)(3x+y)
をしてから、一時項を含めた因数分解に進めます。
左辺=(x+2y+a)(3x+y+b)
定数項ab=2に着目してa,bの候補を絞れば良いですね。

Q因数分解のコツ・・・

以下のような因数分解が苦手です。
*2a(3)-16=0
*a(3)-a=0
*2a(3)-3a(2)+5=0
*2a(3)+a(2)+1=0
*2a(3)-5a(2)+4a-1=0

()内の数字は前のものが何乗されているかです。

解答をみてもこのようなレベルは省略してあるので…
やり方のコツがあれば教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

上から順番に1~5とします

1、最初に[2]があるので、ちょっとじゃまですよね?
3乗して2になる数・・・[3乗根2と言うのはあるけど、普段は使わないから]
↑これはなさそう。
次、じゃあ、2で「くくって」みよう!
2(a^3-8)・・・・ここで、公式[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)]
を思い出します。そして、この公式に当てはめられるかを確認
2(a^3-2^3)・・・公式にあうからこれでいける!と思って計算していきます。

2、あっ!これはすべての項に[a]が入っているから、くくってみよう
a(a^2-1)=0・・・ここで、公式[a^2-b^2=(a+b)(a-b)]を思い出して同じように元の式を変形
a(a^2-1^2)・・・公式に当てはめられるので、そのまま計算

3・4・5
これは、aでくくれないし、数字でもくくれないし、公式にも当てはめられそうにないから、
最後の手段
aにどんな数字を入れたら左辺=0になるかを考えます。

私は、a=1,-1,2,-2,3,-3・・・と入れていきます。

例:5、
2a^3-5a^2+4a-1=0・・・aに何を入れたらいいかを考える
a=1の時:2-5+4-1=0・・・あっ、これで左辺=0にできた。
そうしたら、次の作業をします。

2_-5_4_-1 [1]・・・5の係数を書き出し、右側にa=1の1を書く
↓_2__-3___1 (+・・・・上の数字と左下にある数字を足し算していく
2__-3__1___0

法則わかりますか??で、一番下の数字を使います。
右から0をのぞいて、a^0,a^1,a^2・・・の係数になっています。つまり、[2a^2-3a+1]・・(1)ということ
で、答えは、
(a-1)(2a^2-3a+1)・・・最初の-1はa=1の時の[1]の符号を逆にしたものを書きます。それと、(1)をかけたものが答え
そして、じつはまだ因数分解できます。
2a^2-3a+1・・・aに1を入れたら左辺=0になりますよね?
同じように表を書いて計算すれば簡単に因数分解できます。
(2a-1)(a-1)
なので、答えは{(a-1)^2}(2a-1)ってなります。
このやり方は教科書のどこかに載っているかもしれません

上から順番に1~5とします

1、最初に[2]があるので、ちょっとじゃまですよね?
3乗して2になる数・・・[3乗根2と言うのはあるけど、普段は使わないから]
↑これはなさそう。
次、じゃあ、2で「くくって」みよう!
2(a^3-8)・・・・ここで、公式[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)]
を思い出します。そして、この公式に当てはめられるかを確認
2(a^3-2^3)・・・公式にあうからこれでいける!と思って計算していきます。

2、あっ!これはすべての項に[a]が入っているから、くくってみよう
a(a^2-1)=0・・・ここ...続きを読む

Q2x^2-2xy+2y^2-12x+12y+27 を因数分解したいです(途中まで解いてみましたが解けません)

2x^2-2xy+2y^2-12x+12y+27
=(x-y)^2-12(x-y)+27+x^2+y^2
=(x-y-3)(x-y-9)+x^2+y^2

(式の中の「^」はべき数です)

ここまでは自分で解けたのですが、最後のx^2+y^2を
どうしてもなかに入れることができません。
私の解法が間違えているのだと思うのですが、どこがいけないのでしょうか?

ヒントだけでも構いません。
解法を詳しく式で解説していただけるとより助かります。
この手の因数分解の解法のポイントがあればそちらも教えて下さい。

※ 解答は手元にありません。

Aベストアンサー

2次の項を見ると 2x^2-2xy+2y^2 で判別式 2^2-4×2×2<0 ですから因数分解できません。
整数の範囲で因数分解できる ⇔ 判別式が平方数
実数の範囲で因数分解できる ⇔ 判別式≧0

2x^2-2xy+2y^2-12x+12y+27=0 は楕円です。
45゜回転するとわかりやすくなります。
x=(X+Y)/√2,y=(X-Y)/√2 を代入して整理してみてください。


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