数学 積分の問題です

∫[-π→π]{(sinx)^2/1+e^x}dxという問題で
答えがπ/2になるらしいのですが
解法がわかりません。
解き方を教えてください

No.3 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2017/02/25 22:41

ｘ＝－ｔとおいて、

∫[-π→π]{(sinx)^2/1+e^x}dx＝∫[-π→π]{(sinｔ)^2/1+e^-ｔ}dｔ
＝∫[-π→π]{(sinｘ)^2/1+e^-ｘ}dｘ＝∫[-π→π]{e^ｘ(sinｘ)^2/1+e^ｘ}dｘ
＝∫[-π→π]{(sinｘ)^2}dｘ－∫[-π→π]{(sinｘ)^2/1+e^ｘ}dｘ　したがって、
2∫[-π→π]{(sinx)^2/1+e^x}dx＝∫[-π→π]{(sinｘ)^2}dｘ＝π
ゆえに
問題の積分＝π/2　

２行目の右辺は左辺の積分の関数の分母分子にe^ｘをかけて出てくる。
３行目は、その分子のe^ｘを、e^ｘ＋1－1と書きなおして
積分を2つの積分の差で表わしている。
最後の(sinｘ)^2の積分はわかるとおもいます。

この回答へのお礼

ありがとうございます
置換積分を使いながら式を変形しなければならないのですね…難しいです

お礼日時：2017/02/28 19:47

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/02/25 21:15

a を実数定数, f(x) を偶関数とし, 関数 f(x)/(1 + e^x) が [-a, a] で積分可能のとき,

I = ∫_[-a, a] f(x)/(1 + e^x)dx = ∫_[0, a] f(x)dx が成り立つ.
u = -x と変数変換すれば, このことは明らかだ.
こちらがヒントを与えて, それでも解決しないなら, 補足質問するべき.
与えられたヒントを活用する気がないなら, 最初から質問しなければいいだろう.

この回答へのお礼

偶関数奇関数を使うのですね
ありがとうございます！

お礼日時：2017/02/28 19:38

No.1 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/02/25 18:28

u = -x と変数変換すれば, あっさり解決する.