No.1ベストアンサー
- 回答日時:
pを法としてaが平方剰余に等しいとき,
ルジャンドル記号を用いて (a/p)=1 と表し,
平方非剰余であるとき (a/p)=-1 と表します。
奇素数p,qに対して,平方剰余の相互法則;
(p/q)(q/p)=(-1)^{(p-1)/2}*{(q-1)/2}
が成り立つことが知られてますから,
pが奇素数,q=5のとき
(p/5)(5/p) = (-1)^(p-1)=1
が成り立ちます。さらに,ルジャンドル記号の
定義より (p/5)^2=1 ですから,
(5/p) = (p/5)
であることがわかります。
平方数を5で割った余りは1^2,2^2,3^2,4^2を
直接調べればわかりますから,
5≡y^2 (mod p)が解を持つ
⇔ (5/p)=1
⇔ (p/5)=1
⇔ p≡±1 (mod 5)
が得られますね。
p=2のときは,既約剰余類がもともと1しかないので,
述べるまでもないでしょう。
平方剰余の相互法則については,剰余類を
扱っている整数論の本なら必ず載っていますので,
どれでもお好きなものをお選び下さい。
(例えば,
高木貞治(著)初等整数論講義,共立出版
A.ベイカー(著)初等数論講義,サイエンス社
など)
どの本でも,証明は少し長いです。
(したがって,ここでその証明をすべて述べるのは困難。)
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