41の2番と3番を教えて欲しいです。 答えは2番が√3-1 3番が4です。 お願いします。

41の2番と3番を教えて欲しいです。
答えは2番が√3-1 3番が4です。

お願いします。

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/02/27 21:03

すみません！

a=7+4√3 b=7ー4√3 とし ab=7^2ー3・4^2=49ー48=1
与式
=(a^n+b^n)^2ー(a^nーb^n)^2
=(a^n+b^n+a^nーb^n)(a^n+b^nーa^n+b^n)
=2・a^2・2b^n=4(ab)^n=4・1^n=4 …Ans
A^2ーB^2=(A+B)(AーB)を利用しました！

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2017/02/27 19:34

ルートを一気には外せないので、地道にやってみましょう。

(2) では、部分的に攻めて行きます。まずは
　　a = √( 13 + √48 )
とおけば、a>4 であり（√48 = 4√3 >4 なので、13 + √48 > 16 とあたりを付ける）
　　a^2 = 13 + 4√3
　　4√3 = a^2 - 13
さらに２乗して
　　48 = a^4 - 26a^2 + 169
→　a^4 - 26a^2 + 121 = 0
→　(a^2 - 11)^2 - 4a^2 = 0
→　(a^2 + 2a - 11)(a^2 - 2a - 11) = 0

a^2 + 2a - 11 = 0 となるのは
　a = [ -2 ± √( 4 + 44 ) ] / 2
　　= -1 ± 2√3
これは a>4 を満たさない。

a^2 - 2a - 11 = 0 となるのは
　a = [ 2 ± √( 4 + 44 ) ] / 2
　　= 1 ± 2√3
a>4 より
　a = 1 + 2√3

a = 1 + 2√3　のとき、与式は
　√( 5 - 1 - 2√3) = √( 4 - 2√3) = b
より、0<b<1 で（これも、3<2√3<4 なので、0 < 4 - 2√3 < 1 とあたりを付ける）
　b^2 = 4 - 2√3
　2√3 = 4 - b^2
→　12 = 16 - 8b^2 + b^4
→　b^4 - 8b^2 + 4 = 0
→　(b^2 - 2)^2 - 4b^2 = 0
→　(b^2 + 2b - 2)(b^2 - 2b - 2) = 0

b^2 + 2b - 2 = 0 となるのは
　b = [ -2 ± √( 4 + 8 ) ] / 2
　　= -1 ± √3
0<b<1 より
　b = -1 + √3

b^2 - 2b - 2 = 0 となるのは
　b = [ 2 ± √( 4 + 8 ) ] / 2
　　= 1 ± √3
これは 0<b<1 を満たさない。

以上より
　与式 = -1 + √3

(3) A = (7 + 4√3)^n, B = (7 - 4√3)^n とおけば
　与式 = (A + B)^2 - (A - B)^2
　　　= A^2 + 2AB + B^2 - (A^2 - 2AB + B^2)
　　　= 4AB
かつ
　AB = [ (7 + 4√3)^n (7 - 4√3)^n ]
　　= [ (7 + 4√3)(7 - 4√3) ]^n
　　= ( 49 - 48 )^n
　　= 1^n
　　= 1
なので、結局
　　与式 = 4

No.3 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/27 19:27

√48=2√12

13+2√12=(1+√12)^2
5-1-√12=4-2√3=(√3-1)^2

(7+4√3)^n=A
(7-4√3)^n=B
とすると、
(A+B)^2-(A-B)^2=4AB
与式=4AB=4(7+4√3)^n*(7-4√3)^n
=4((7+4√3)(7-4√3))^n
=4(49-48)^n
=4

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/02/27 19:14

2) 13+√48=13+√(4・12)=13+2√12=(1+12)+2√(1・12)=(1+√12)^2

よって、√(13+√48)=1+√12 だから
5ー√(13+√48)=5ー(1+√12)=4ー√12=4ー√(4・3)=4ー2√3
=(1+3)ー2√(1・3)=(√3ー1)^2 …… ＞0
従って、 与式=√3ー1 …Ans

3) 前項=(7+4√3)^2n+(7ー4√3)^2n+2(7+4√3)^n(7ー4√3)^n
後項=(7+4√3)^2n+(7ー4√3)^2nー2(7+4√3)^n(7ー4√3)^n
∴ 与式=前項+後項=2(7+4√3)^2n+2(7ー4√3)^2n
=2(97+56√3)^n+2(97ー56√3)^n でもよい！

勿論 A^2ーb^2=(A+B)(AーB) を使っても同じくOKです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/02/27 13:36

(2) 中から地道にばらす

(3) x^2-y^2 は因数分解できますか?