高校数学 オイラーの多面体定理についての質問です！

どうしても、オイラーの多面体定理の式（頂点ー辺＋面＝２）を覚えることができません。よい覚え方をご存知でしたら、御教授ください！
ご回答宜しくお願いします！<(_ _)>

No.2 ベストアンサー 回答者： Ku-Mei 回答日時： 2017/03/10 19:45

No. 1 です。

質問にお答えします。

簡単なところから、はじめます。

直線上の点を指定するためには、１つの値を定めればよいことが分かります。基準になる点（通常、原点といいます）からの距離を定めれば、唯一の点として１点が決まります。このことから、直線は、１次元の空間であるといいます。
次に、平面上の点を定めるためには、２つの値を定めればよいことが分かります。基準になる点（原点）からの横方向の距離と縦方向の距離を定めれば、唯一の点として１点が決まります（通常の、x－y座標系）。別の方法として、原点からの距離と基準方向からの角度の２つの値によって決めることもできます（極座標表示）。いずれにしろ、２つの値によって１点が決まります。このことから、平面は、２次元の空間であるといいます。(ついでに言えば、直交座標でなくてもOKです。)
同様にすれば、３次元、４次元、、、、の空間を考えることができます。

今は、直線を基にしていましたが、もう少し一般化して、直線の代わりに曲線を考えても同じような議論ができます（原点を定めて、そこから曲線上の道のりの長さによって１点を定めることができます。面についても同様のことができることがわかると思います（地球上の位置（球面上の位置）が、２つの数値（緯度と経度）によって定まることを考えれば、想像できると思います）。

1点を定めるのに、いくつの値が必要かによって次元が定まります。
このことを基にして、線分や辺は1次元、面は2次元の対象であるというのは、自然なことだと思います。それを、低い次元のほうに持っていくと、点は0次元となります（基準となる点を定めると、それ自身が定めたいものですから、値は必要がありません、つまり0個の値が必要）。

ちょっと分かり難そうなので、別のことを考えてみます。2次元の面2個の交わりを考えると、1次元の（直）線が得られます。では、1次元の線2本の交わりとして、ｘ次元の点が得られるとすると、ｘはどうなるでしょう。この問いの自然な答えは、x = 0 となると思います。ということで、点は0次元の対象であるというのが自然だということになります(かえって分かり難い？)。

これで、初めの2つの問いに答えたつもりですが、いかがでしょう。
残りの3つ目の問いについては、どう言ったらいいのか分かりませんが、次のような説明でどうでしょう。
多面体を頂点と辺だけからなるものと考えます（辺は、ゴムのように伸び縮みするものと考えます)。その上で、辺が交わらないように多面体を押しつぶすと、平面上に描くことができます（6面体の場合、底面ABCDを描いてその中に上面A'B'C'D'を描き、AA', BB' CC', DD' を結ぶと、6面体を押しつぶした図になります）。このようなやり方で、多面体はいつでも平面に描くことができます。ということで、多面体とは、平面上に辺が交わらないように描かれた図であるということができます(この場合、点と辺はそのまま対応しますが、面は、辺で囲まれたところに対応します。ただし、最も外にある辺で一回りするところは、囲まれてはいませんが、面(外面)(先ほどの6面体の例で言えば、AB, BC, CD, DA の4本の辺で定まるところ）とします）。
多面体とは、平面上に描かれた図形のうちで、辺が交わらないものということから、多面体定理というのは、上に述べたように多面体を押しつぶした図形に対して成り立つ定理と言い換えることができます。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/11 11:54

No.5 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/03/11 01:08

何かしらの任意の立体を想像します。

分かり易いように、三角柱で説明します。

立体の外に点を１つ追加します。
その点も立体の一部として組み込みます。
どこかの面が外から見えなくなり、
代わりに点から延びる辺と、それによってできる面が追加されます。

三角柱の場合①
三角の面が見えなくなり、
点からその三角の各頂点に向かって３つの辺が追加されます。
それにより３つの面が追加されます。
頂点が１つ加わり、辺が３つ加わり、面は３つ加わったけど１つ消えたので２つ増えてます。
頂点と面の増えた数の合計は３で、辺の増えた数も３です。

三角柱の場合②
四角の面が見えなくなり、
点からその四角の各頂点に向かって４つの辺が追加されます。
それにより４つの面が追加されます。
頂点が１つ加わり、辺が４つ加わり、面は４つ加わったけど１つ消えたので３つ増えてます。
頂点と面の増えた数の合計は４で、辺の増えた数も４です。

どんな形であっても、頂点を１つ加える為には、面を１つ消して、その面を作っていた頂点と同じ数の辺と面が増える。
ということになります。
なので、頂点の数-辺の数+面の数は常に一定となります。
定数がいくつか忘れた場合は、
単純な三角錐（4-6+4=2）もしくは立方体（8-12+6=2）を考えればすぐに分かるかと思います。

この回答へのお礼

なるほど！とても面白い考え方だったので、使わせていただきます！ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/11 11:58

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/03/11 00:29

まあ一番簡単なのは #1 のように

加減算を交互に行う
というものじゃないかな.

ちなみにより一般化すると
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E8%83%9E …
にいきつくんだけど, たぶんもとのオイラーの多面体定理もちょっといじって
頂点-辺+面-立体 = 1
の方がおもしろいかもしれない.

この回答へのお礼

ちょっと難しくてよく分からなかったので、今後の課題にさせて頂きます！ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/11 11:56

No.3 回答者： uyama33 回答日時： 2017/03/11 00:01

2だけ暗記して、

三角錐で頂点4、辺６、面４の組合せで２になるのは
４-6+４
しかない。ので
足すのは頂点と面、引くのは辺
あとはどんな立体でも同じ。
とすれば暗記は楽になるかも。

もちろん証明は別問題ですが。

この回答へのお礼

なるほど！そういう考え方もありですね！ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/11 11:55

No.1 回答者： Ku-Mei 回答日時： 2017/03/10 13:03

私は、特に覚え方を考えずに、覚えてしまいましたので、よい覚え方をといわれても困りますが、次のような考え方があるかと思います。

ものは順序通りにというアイディアで、ということで、次元の順序をもとに覚えるのがいいと思います。つまり、０次元（頂点）、１次元（辺）、２次元（面）のものをその順に加減していくというものです。その結果が、２となることは、具体的に紙の上に三角形を描いて見ると、頂点と辺の数が相殺されて、面の分（内面と外面）が残って「２」となることが分かります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
質問があります！
・点って0次元を表すものなのですか？
・そもそも０次元って存在したんですか？恥ずかしながら、初めて聞きました。
・オイラーの多面体定理は、立体用の定理だと勝手に解釈していたのですが、平面にも応用できるのですか？
お手数お掛けしますが、ご回答宜しくお願いします！<(_ _)>

お礼日時：2017/03/10 14:52