高校数学 点と直線の距離の公式の証明についての質問です。

とあるサイトを拝見させて頂いたところ、点と直線の距離の公式の証明の途中経過で、A^2+B^2≠０であることを自明のように使っていたのですが、その理由を教えて下さい！
http://mathtrain.jp/tentotyokusen
証明１の下の方です。
また、Ax+By+C=0の式で、AかつBがゼロになるときは座標平面上でどのような点の集合を表しますか？
自分の考えでは、ｃ＝０ならば、（∀ｘ、∀ｙ）を表し、ｃ≠０ならば、上式を満たす点は存在しないと思います。
お手数お掛け致しますが、ご回答宜しくお願いします<(_ _)>

No.3 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/03/11 12:39

>>等式が成立しないのに、なぜ∀（X,Y)を表せるのですか

余り深く考えないで下さい。

① (Ax+By+C=0 ∩ C=0) →　(X,Y)は実数
② (Ax+By+C=0 ∩ C≠0) →　(X,Y)は実数

①は前提は真
②は前提が偽。前提が偽なら結論は全て正しい。

A,Bは0なんだから、全ての実数(X,Y)についてC=0が成り立ちますよ。
この後の議論が、それを満たすCが幾つになるか、です。

この回答へのお礼

返信遅れて申し訳ありません．．．ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/27 21:43

No.6 回答者： GBde 回答日時： 2017/03/11 22:56

https://www.google.co.jp/search?q=Normal+Vector& …

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/27 21:42

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2017/03/11 15:31

主さんが、最後に書いているように、Ａ＝Ｂ=0ならば、Ax+By+C=0は

ｘ、ｙの全平面を表わすか、なにも表わさないのです。だから
Ax+By+C=0が直線を表わすのならば、ＡかＢは少なくともどちらかは≠0です。
するとA^2、B^2のどちらかは＞0で、もうかたいっぽは≧0なので、A^2+B^2＞０です。

この回答へのお礼

返信遅れて申し訳ありません．．．ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/27 21:44

No.4 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/03/11 13:24

A^2+B^2=0となるのはA=B=0のときだけであり、

A=B=0ということは、直線の法線ベクトルが(0,0)で表されるという事になってしまいます。

A=B＝0のときC=0であれば必ずAx+By+C=0を満たすので、すべての点が該当し、
A=B＝0のときC≠0であれば必ずAx+By+C≠0となるので、すべての点が該当しません。
しかし今回の場合は前提上A=B=0となる事は無いですよ。

この回答へのお礼

返信遅れて申し訳ありません．．．ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/27 21:44

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/03/11 11:56

Ax+By+C=0でA=B=0なら直線を表さない。

C=0だから　0=0と言ってる恒等式。

>>Ax+By+C=0の式で、AかつBがゼロになるときは座標平面上でどのような点の集合を表しますか？

質問の通りで正解です。
Cが0で有っても無くても(X,Y)は全ての実数ですけどね・・・。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
＞Cが0で有っても無くても(X,Y)は全ての実数ですけどね・・・。
この部分の意味が分かりませんでした(´；ω；`)ｳｩｩ
ｃが０じゃなかったら、等式が成立しないのに、なぜ∀（X,Y)を表せるのですか？
お手数お掛けしますが、ご回答宜しくお願いします！

お礼日時：2017/03/11 12:02

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2017/03/11 11:53

その通りです

よって、A^2+B^2＝０であれば、
Ax+By+C=0は直線（の集合）とはなりません。

この回答へのお礼

なるほど！そもそも直線の集合ではないのですね！スッキリしました！

お礼日時：2017/03/11 12:02