画像のような問題を考えています。左辺は、ab=1なので、そのルートは1、右辺は-1のルートである i の2乗で(i^2)です。すなわち 1 = i^2 となるので間違っていることになります。

数学の理論展開で何か間違っているのですが、どこでしょうか。よろしくお願いします。

「ルートの公式と複素数について」の質問画像

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A 回答 (13件中1~10件)

解決した。

公式は成り立つ。

√( ) を二重の複素平面から複素平面への関数と考えれば、2つのうちのどちらかなどと考えずに、高校までの根号の拡張にできる。
定義域が拡張されるが。

いわゆるリーマン面であるが、そこに演算を考えるので、リーマン面と呼んで良いか分からない。

二重の複素平面にあるのは公式の a と b の方、普通の複素平面にあるのは √a や √b の方。
ab で気をつけなければならない。
たとえば (-1)×(-1) は、1周して第2面に入り 1' になるように。

以上。

何を混乱していたのかと
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複素数では、ab≠0 のとき、√(ab)、√a、√b はそれぞれ、2つのうちのどちらかを明らかにしておいて等号が成り立つように選ばれます。


√1 や √(-1) の式でも、等号が成り立つように選ばれます。
だいたい等号が成り立たないようにするのは、ひとをからかうためでしょう。


さて、これは公式なのか?と自問すると、わけがわからなくなりました。
その思考が以下です。

a、b を 0 でない複素数とし、複素平面で考える。
a の平方根は √a または -√a である。
√a と -√a は原点対称である。
a を連続的に動かすと、√a と -√a もまた位置関係を保ちながら連続的に動く。
そのとき、瞬間移動して双子ちゃんが入れ替わるということはない。

a を原点の周りを1周させて元の位置に戻すとき、a は a のままだが、√a は動かす前の a に対する -√a になっている。
さらに同じことをすると、√a は元の位置に戻る。
これは、√a が双子の他方も表しうることをいっている。

(√a × √b)^2 を考えてみよう。
これは2乗なので、2つの √a は同じものである。よって √a × √a = a である。
√b も同様である。よって (√a × √b)^2 = ab である。
よって √a × √b は ab の平方根のひとつである。
したがって √(ab) か -√(ab) のいずれかである。

a や b を連続的に動かすとき、√(ab) と -√(ab) は原点対称を保持しながら連続的に動く。
瞬間移動してすり替わることはない。

√a × √b = √(ab) の場合について考えてみる。
本質的なところは単位円上で調べれば良い。
いま、a を原点を中心に 360 度回転させたものを a' と書くことにする。この2つは同じものであるが、根号と組み合わさると違うものを表す。すなわち
 √a' = -√a
そして √1 = 1 とする。√1' = -1 である。

下の図は、√a 、√b それぞれの単位円上の値の組を表している。どちらも偏角にして 4π の周期である。
周期があるとは、領域を動いて上にはみ出たと思った瞬間に下から出現したり、左に見切れたらその瞬間に右から現れるというものである。
そして斜めの線が、√a × √b の値を表す。
白丸は4種の √(-1) × √(-1) 。
右の図は、わかり易いよう描き変えたものである。4πの周期だとわかる。

√1 × √1 = 1 のところから領域を上にたどれば、√1 × √b の値をみることができる。これは、√(1×b) と一致すると思われる。よって素直に、√a × √b = √(ab) だと仮定するのである。

すると、√(-1) × √(-1) = √1' × √1 = √1 × √1' = -1 が、図から読み取れる。
そこから
  √{(-1)×(-1)} = √(1' × 1) = √(1 × 1') = -1
であるはずである。
さて、
  √{(-1)×(-1)} = √(1' × 1)
は、どう解釈すればいいのだろうか?

√(1' × 1) = -1 なのだから √(1' × 1) = √1' は成り立っている。
だが、√(1' × 1) = -1 の前提なしで、√(1' × 1) = √1' は成り立つのだろうか?
(-1)×(-1)=1 であるが、根号と合体させた記号としては
√{(-1)×(-1)}=√1'
になるのだろうか?
根号の中のかけ算が普段通りにできないのであれば、√(1' × 1) はどう簡略化できるのか?


もう分かってるような、分かってないような
ここで思考を中断します。暇じゃないのです。


公式にするなら、「ただし等号が成り立つように選ぶ」と書かれてあればいいんじゃないかな、というのが個人的な感想。
あ、勝手に公式と呼んでいるのは私です。
「ルートの公式と複素数について」の回答画像12
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自分が書いたことが公式は成り立たないといってる気がする件

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√(-1) × √(-1) について、x^2 に代入しました、みたいに出自が同じ場合はその値は -1 だけど、そうでない場合は同調するとは限らず、その値が 1 になることがある


などと書いてみる。
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> 定義が拡張されたとき、拡張される前の狭義の定義の部分が変更を受けないというところが重要だと思いますが。



再定義ってのもあるよ。


> 1.「aが正の場合、2乗してaになる数を√aと書く」

この √a が、平方根のいずれかを表し、いずれをも表すという意味で使っているのなら、いいんじゃないの?
ただ、多価性のあるものを扱うときは等号が成り立つように選んでたような・・・(笑)
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これは、ルートの定義等から導き出された


a≧0 かつ b≧0 のとき √(ab)=√a√b
という定理です。
ルートの掛け算を「定義」したものではありません。


√(ab) は
a・bという積が定義されている
→ 定義より a・b は c と置くことができる
→ √c は定義されている
となります。わざわざ「積のルート」を定義しなおす必要性は認められません。


四則演算でも、計算順序を変えると結果が違うことがあります。
計算順序を変えても同じ結果になることもあります。
これを、「計算順序を変えても同じ結果になることがあるのだから、全てのケースでそうあるべきだ」というのは無理な話です。

それと同様に、ルートの計算も、計算順序を変えたら結果が変わることがあります。
計算順序を変えても同じ結果になることもあります。
これを「a≧0 かつ b≧0 のとき √(ab)=√a√b なのだから、全てのa,bで √(ab)=√a√bであるべきだ」というのは無理な話です。
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回答者の皆さんが書かれているように、


a>0,b>0のときのみ√(ab) = √a √b です
それから、√(e^(iθ))=e^(iθ/2)ではありません。
√(e^(iθ))=e^(iθ/2)とe^{i(θ/2)+π} となります。
一般に、複素数のn乗根(1/n 乗)はn個の多価関数になり、
多価解析関数として扱わなければなりません。
つまり、記述の方法はそっくりだけれども、
実数と複素数では扱いが異なると言うことです。
複素解析などの本を見てみると、
細かいところで実関数の扱いと異なる部分がたくさん出てきます。
複素解析などの本でn乗根を調べてみて下さい。
多分、逆関数を使って説明がなされ、逆関数を使って微分の結果を導いていると思います。
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x^2=exp(iθ)


の解は
x=±√exp(iθ)
だけど
x=exp(iθ/2) , exp(iθ/2 + iπ)
でもある。
どっちがどっちなのか?

θ=0 とすると
x^2=1
x=1, -1
となるので
√exp(iθ)=exp(iθ/2)
なんだろうな、と思うと、θ=2π としたとき
√1=-1
となる。

ちがった
√exp(iθ)=exp(iθ/2 + iπ)
だったんだ!と思うと、θ=0 としたとき
√1=-1
となる。


だから、大丈夫なんじゃない?
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√(ab)=√a√b が成立する条件は何でしたか。


中学校で習った、「平方根の定義」を思い出して下さい。
その時には、複素数は考えに無かった筈ですが。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
中学では、√aにおいてaが負であることが定義されていないと思います。そのためその範囲で考えるため、√(ab)=√a√bの成立について制約は無かったという風になると思います。もし複素数が導入されたあとあの式は再定義されることになるのだろうと思いますが。

お礼日時:2017/03/18 07:54

>画像のような問題を考えています。


というのは

√ab = √a・√b という方程式があって,その解が
a = -1,b = -1 である
ということが正しいか?

ということを考えているということですか?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
式ですが、左辺の定義(あるいは変換)が右辺である、という解釈を前提にお尋ねしています。しかし、この式には使用条件がついており、その条件が暗黙に含意されているということです。あの式が提示されたとき、式の上にその条件が見えている必要があるようです。

お礼日時:2017/03/18 06:19

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|↑a|=|↑b| … ②
両辺を二乗して、
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--------------------------------------------------------------------
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↑a=-↑b … ①
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--------------------------------------------------------------------
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16進数の「EF」は、2進数なら「1110 1111」です。

これを8進数にすると、桁の区切りを「 11 101 111」に替えて「357」になります。これは単に機械的な操作でできます。
おそらくお示しのサイトでは、「011 101 111」と区切って計算しているのだと思います。(3桁ごとに区切ると1桁足りなので、先頭桁に「0」を補っている)

10進数に替えるには、ふつうに計算すれば
 14 * 16^1 + 15 * 16^0 = 239
になります。
お示しのサイトでも、16進数「00EF」と入れれば、「符号付き」でもきちんと計算します。

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単なる、そのサイトでの計算アルゴリズムの問題だと思います。

16進数の「EF」は、2進数なら「1110 1111」です。

これを8進数にすると、桁の区切りを「 11 101 111」に替えて「357」になります。これは単に機械的な操作でできます。
おそらくお示しのサイトでは、「011 101 111」と区切って計算しているのだと思います。(3桁ごとに区切ると1桁足りなので、先頭桁に「0」を補っている)

10進数に替えるには、ふつうに計算すれば
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Q太郎くんの賭けかた

お世話になります。
以下の条件下で、太郎くんが賭けごとを継続していく際、どのような賭けかたが好ましいでしょうか。
①最初の手持ち金100
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③賭け先無数
④勝つ確率は賭け先ごとに75%
⑤勝つと+10%の利益、負けると-10%の損失
この場合、賭け先a,b,c...に手持ち金を分散させるべきなのか、一つに集中するべきなのか、どちらでも期待値?は変わらないのか、わかりません。

小〜中学の数学レベルかと思いますが、数学的な見地からお答えいただけると大変助かります。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

1箇所に全て賭けるとすると、
75%の確率で+10%
25%の確率で-10%
よって期待値は0.75*1.1+0.25*0.9=0.825+0.225=1.050

2箇所(a,b)にA:1-Aで分散させるとすると、それぞれの期待値は1.05のままなので、
A*1.05+(1-A)*1.05=(A+1-A)*1.05=1.05
となり、期待値に変化はありません。

3箇所、4箇所…N箇所となっても、
(A+B+C+D+…+N+(1-(A+B+C+D+…+N)))*1.05=1.05
となり同様です。

1箇所にかけると、勝った時大きいですが、負けた時も大きいです。
多数に分けてかけると、ほぼ期待値に近い結果となるでしょう。
この場合期待値が1よりも大きいので、賭ける回数が無制限であるなら、可能な限り分けて、確実に増やしていくのがよろしいかと。
回数が決まっているなら、1箇所に賭けてハイリスクハイリターンとするか、分配してローリスクローリターンとするか、お好みでどうぞ。

1回で1箇所に賭けて勝つ確率は0.75です。
1回で2箇所に賭けて両方勝つ確率は0.75^2です。
1回で3箇所に賭けて3箇所とも勝つ確率は0.75^3です。
決められた回数で最も多く儲かる可能性が高いのが、1箇所に賭ける方法です。
同様に、最も損する可能性も高いです。
言い方を変えれば、期待値から外れる可能性が最も高い賭け方ということです。

1箇所に全て賭けるとすると、
75%の確率で+10%
25%の確率で-10%
よって期待値は0.75*1.1+0.25*0.9=0.825+0.225=1.050

2箇所(a,b)にA:1-Aで分散させるとすると、それぞれの期待値は1.05のままなので、
A*1.05+(1-A)*1.05=(A+1-A)*1.05=1.05
となり、期待値に変化はありません。

3箇所、4箇所…N箇所となっても、
(A+B+C+D+…+N+(1-(A+B+C+D+…+N)))*1.05=1.05
となり同様です。

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多数に分けてかけると、ほぼ期待値に近い結果となるでしょう。
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Q自力で発見した数学的事実教えてください

小中高で習う数式や公式はどうやらすべておおまかな絵で表せると思います。しかし多くの人が数式や公式を絵で表そうとした場合三角形の面積の公式しか絵的で表せないように思えます。三角形の公式は、絵で表すと四角形(底辺×高さ)を作ってから対角線に沿って半分(÷2)に切る 

実際学校で習う数学は本質理解となる絵的な教育というより、
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Aベストアンサー

三角形の面積に似てますが、
1~100(100とは限定しないですが)の合計の出し方は、小さい方から1番目と大きい方から1番目を、2番目と2番目を…ペアにして、その数(これだと1~100なので100個)の半分をかければいい。
ってのは自分で考えましたね。

あとピタゴラス習った時に、
奇数を2乗した数を2で割った数に±0.5すれば、元の奇数とその2つの数が該当する
(3なら2乗で9を2で割って4.5に±0.5すれば3と4と5、5の場合は12と13、7の場合は24と25…)
元の数が偶数なら、2乗した数を4で割って±1すれば同様
(4なら16÷4=4→3,5、6なら8と10、8なら15と17…)
そして奇数の時は2つ目と3つ目の数の差が1、
偶数の時は2つ目と3つ目の差が2、
なので2つ目と3つ目の差がnの時でも考えられる。

a^2+b^2=(b+n)^2
a^2=2bn+n^2
b=(a^2-n^2)/2n

つまり
n=1のとき(上記奇数の場合)
b=(a^2-1)/2=a^2/2-1/2
b+1=a^2/2+1/2

n=2のとき(上記偶数の場合)
b=(a^2-4)/4=a^2/4-1
b+2=a^2/4+1

であった。
という流れで、ピタゴラス数が無限に存在することの証明は中学生の時に自力で発見しました。
先生に褒められたので良く覚えています。

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ってのは自分で考えましたね。

あとピタゴラス習った時に、
奇数を2乗した数を2で割った数に±0.5すれば、元の奇数とその2つの数が該当する
(3なら2乗で9を2で割って4.5に±0.5すれば3と4と5、5の場合は12と13、7の場合は24と25…)
元の数が偶数なら、2乗した数を4で割って±1すれば同様
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Q学校で出された問題です。 354のように3桁の数字の和が、12(三の倍数)になり、354÷3をすると

学校で出された問題です。
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という問題です。本当に全然分からないのです。知ってる方いたらわかりやすく説明お願いします。

Aベストアンサー

小学生なら先ずは、以下をおさらいして見よう。
   1を3で割ると、余り1
   2を3で割ると、余り2
   各桁の数字が余りになる。
-----------------------------------------
  10を3で割ると、余り1
  20を3で割ると、余り2
  40を3で割ると、余り4
  各桁の数字が余りになる。余り4は未だ3で割り切れるから、割ると余り1
  40を3で割ると、余り1
-----------------------------------------
 100を3で割ると、余り1
 200を3で割ると、余り2
 400を3で割ると、余り4
 各桁の数字が余りになる。余り4は未だ3で割り切れるから、割ると余り1
 400を3で割ると、余り1
-----------------------------------------
  30を3で割ると、余り3→余りが3で割り切れる→ 30が割り切れる
 300を3で割ると、余り3→余りが3で割り切れる→300が割り切れる

-----------------------------------------

  10を3で割ると、余り1
 100を3で割ると、余り1
+)-------------------------------------
 110を3で割ると、余り2


   1を3で割ると、余り1
  10を3で割ると、余り1
 100を3で割ると、余り1
+)-------------------------------------
 111を3で割ると、余り3 余りが3で割り切れる→111も割り切れる


 300を3で割ると、余り3
  50を3で割ると、余り5
   4を3で割ると、余り4
+)-------------------------------------
 354を3で割ると、余り12 余り12も3で割り切れる。

小学生なら先ずは、以下をおさらいして見よう。
   1を3で割ると、余り1
   2を3で割ると、余り2
   各桁の数字が余りになる。
-----------------------------------------
  10を3で割ると、余り1
  20を3で割ると、余り2
  40を3で割ると、余り4
  各桁の数字が余りになる。余り4は未だ3で割り切れるから、割ると余り1
  40を3で割ると、余り1
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 100を3で割ると、余り1
 200を3で割ると、余り2
 400を3...続きを読む

Q2sin15°=sin30°=2分の1 これは間違っていますよね?

2sin15°=sin30°=2分の1
これは間違っていますよね?

Aベストアンサー

勿論間違い。
a・f(x)=f(a・x)は成立しない。

sin30°=1/2 ∴2sin30°=1

一方 sin60°=(√3)/2 だから、1にはならない。


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