(問題)
27℃,1.0×10^5Paのもとで、水素を水上置換で捕集したところ、得られた気体の体積は516mLであった。この気体を濃硫酸に通して乾燥したところ、同じ温度・圧力のもとで498mLになった。次の問いに有効数字二桁で答えよ。

(1)水上置換で捕集された気体中の水蒸気の分圧は何Paか。

(解答)体積の減少分516mL-498mL=18mLが、濃硫酸に吸収された水蒸気なので、水蒸気の分圧は、混合気体の圧力の18/516である。

なぜ気体の圧力を体積比から求めることができるのかが分かりませんでした。ボイル・シャルルの法則や気体の状態方程式は理解しています。

質問者からの補足コメント

  • ORUKA1951さんのご指摘に仰る通りだと思いました。そういった基本的な部分の理解が甘いのでしょう……。

    確かに混合気体の全圧は1.0×10^5Paですが、その内水の分圧は3.5×10^5であり同圧下とはいえないのではないか、と混乱してしまっているようです。

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/03/19 16:56

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A 回答 (6件)

この際シャルルの法則は忘れましょう。


(当然温度は一定です)
RT=k
と置くと
気体Aについて
Pa・Va=kNa
気体Bについて
Pb・Vb=kNb
ですね。
それでは、この2つを1つの容器に入れてみましょう。
k(Na+Nb)=Pa・Va+Pb・Vb
となります。
ここで、AもBも容積Vに容器全体に分散しているので、Va=Vb=Vとすると
k(Na+Nb)=V(Pa+Pb)
となります。これが「分圧」の考え方です。
では、仮に2つの気体を自由に動ける壁で分けるとどうなるでしょう。
※No.3さんの考え方
当然2つの気体の圧力は等しくなり、これが容積Vの中での全圧になります。これをPa=Pb=Pとすると
k(Na+Nb)=P(Va+Vb)
と、なるのです。
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そんなときは、仮想化する。

これが理数科目で極めて重要です。それを鍛えるために、マンガでない本を読書せよ--と常々言っている。
 先に書きましたように、発生する気体を薄い膜で仕切り、マックスウェルの悪魔( https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%82%AF … )じゃないが、その膜の左右に水素と水を分けてみます。膜は薄くて自由に移動するとすると、両方は中にある気体分子の数に応じて移動する。
 これは、浮力を考えるときも使います。熱容量や比熱の時の水槽とか、電気の時の水流モデルとか・。
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濃硫酸に通して乾燥すると、水素だけが出てくるので、その水素の最初の容積に対する圧力


つまり水素の分圧はボイル・シャルルの法則より、(1気圧)×498/516 気圧となります。
したがって、求める最初の水蒸気の分圧は
(1気圧)-(1気圧)×498/516=(1気圧)×(1-498/516)=(1気圧)×(18/516)
となって、その解説のとおりです。
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>ボイル・シャルルの法則や気体の状態方程式は理解しています。


 理解と丸暗記は違うよ。

 それらの基本となるアボガドロの法則は、「ボイル・シャルルの法則や気体の状態方程式」を理解していれば、当然知っていなければならないはずです。
 アボガドロの法則は、「同温同圧同体積の気体には同じ数の気体分子が存在する」でしたね。
 水蒸気と水素を薄い膜で仕切ってみます。
←  1.0×10⁵Pa  →
|←    516mL  →|⇒ 1.0×10⁵Pa
|←498mL→←18mL→|⇒ 1.0×10⁵Pa
この回答への補足あり
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先の方の解説を信じるしかないですね。


細かいことを気にすると、この問題はというか
気体の問題は大半回答できません。
工学的に解法を理解するしかありません。
実験してみたら、計測誤差のほうが大きくなるのが常です。
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ドルトンの分圧の法則を使います。


混合気体の分圧=(成分気体のモル数/気体全体のモル数)×全圧

同じ温度・圧力・モル数の下では気体の体積は同じです。
従って体積比=モル分率となります。

成分気体のモル数/気体全体のモル数 = 成分気体の体積/体全体の体積
が成り立ちます。
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f(1)=1+a+b+c
したがって、f(-1),f(0),f(1)が整数であるならば、a-b+c,c,a+b+cは整数である。
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↑a+↑b=↑0の場合、

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--------------------------------------------------------------------
しかしながら、
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--------------------------------------------------------------------
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Aベストアンサー

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ベクトルの定義からして、「↑a=-↑b」というのは、↑a と↑b は大きさは同じだけど向きは逆、ということを表しています。ですので②の意味も含んでおり、省いても全く問題ありません。塾の先生が②を教えたのは、「大きさが同じ」ということを強調させるためだと思います。その方が生徒にとって分かりやすいですからね。
この問題に関しては以上です。

ここからは私が大学の先生方(入試の採点者にあたる人達)を見ている中での考えです。数学の解答を書く際に大事なのは、途中式を全部書くことではないと思います。論理が首尾一貫していて、理解に必要なプロセスが書いてあることが大事だと思います。大学の先生方はそれを重要視されます。
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数学科の者です。
ベクトルの定義からして、「↑a=-↑b」というのは、↑a と↑b は大きさは同じだけど向きは逆、ということを表しています。ですので②の意味も含んでおり、省いても全く問題ありません。塾の先生が②を教えたのは、「大きさが同じ」ということを強調させるためだと思います。その方が生徒にとって分かりやすいですからね。
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QYをXの式で表す。

今度高校に進学するものです。
その高校から春休みの課題として数学の問題集が出たのですが、そのなかに

長方形ABCD(タテ4×ヨコ6)の点Bから2cm/sで動く点PがB→C→D→Aの順に移動していき三角形ABPを作る。その三角形の面積をYとし、点Pが辺BC・CD・DA間を移動するときのYの値をそれぞれをXを使った式で表せ。
(長方形は左上がA左下がB右下がC右上がDです。描いてもらうとわかりやすいかもですね。)

という問題がありました。
解答には
BC間:Y=4X
CD間:Y=12
DA間:Y=32-4X
とあります。

問題の意味は理解できるんですけどCD間の答えのY=12というのは問題にそぐわない気がします。
YをXの式で表せという問題に対してY=12ってどういうことでしょう。
Xの式で表せていないのにそれで答えになるのでしょうか。
いまいち納得できないので質問させてもらいました。

※参考になるかわかりませんがその問題集は東京書籍の数学へのステップアップというやつです。高校数学のための準備と練習って書いてありますね。

今度高校に進学するものです。
その高校から春休みの課題として数学の問題集が出たのですが、そのなかに

長方形ABCD(タテ4×ヨコ6)の点Bから2cm/sで動く点PがB→C→D→Aの順に移動していき三角形ABPを作る。その三角形の面積をYとし、点Pが辺BC・CD・DA間を移動するときのYの値をそれぞれをXを使った式で表せ。
(長方形は左上がA左下がB右下がC右上がDです。描いてもらうとわかりやすいかもですね。)

という問題がありました。
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BC間:Y=4X
CD間:Y=12
DA間:Y=32-4X
とあります。

問題の意...続きを読む

Aベストアンサー

X秒のときの面積Yですよね。
3<=X<=5(CD間)では、Xによらず一定ですからXが入ってなくても仕方ないないですね。
どうしてもXを入れたければ
Y=12+0X
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とでもなるのでしょうね。

Qなぜそう定義されたのかを考える必要性

数学において、定義がたくさん出てきますが僕はよく「なぜ昔の数学者はこのように定義したのだろうか」とかんがえてしまうのですが、これを考える意味はあるのでしょうか?

それとも、そのように定義された意味を考えずに無批判で受け入れた方が良いのでしょうか?

例えば、高校数学でいうと三角関数において
sinθ、cosθ、tanθはそれぞれ単位円のy座標、x座標、OPの傾き、と定義されていることなどです。

春から機械科の大学生となり、線形代数や物理を軽く勉強しているのですが、今のうちにこの疑問についてどうするかという指針を決めておきたいと思い質問させていただきました。

御回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

数学科の学生です。
『なぜこのように定義するのか』
その答えは明白で、『そのように定義すると全てうまく行くから』です。
数学史を学ぼうとすると、先人の失敗ばかりがごちゃごちゃに転がっているので、定義にいたるすべての過程を知るのは不可能に近いことです。

これは私の意見ですが、ある良い性質が成り立つために仮定すべき最小限の条件が何かを突き詰めて考えた結果の積み重なりが、今我々が目にしている美しい数学体系であり、定義だと思っています。


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